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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 14.7 - Ex. 7

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficos tridimensionais no computador, trace a função com um domínio e um ponto de vista que mostrem os seus aspectos importantes

x 2 + y 2 + x 2 y + 4

Passo 1

Inicialmente, calculamos as derivadas parciais da expressão (primeiras e segundas), depois igualando f x   e     f y a 0 encontramos os pontos críticos. Através da fórmula: D x , y = f x x . f y y - f x y x , y ² e do teste da segunda derivada conseguimos descobrir se o ponto é máximo local, mínimo local ou ponto de sela.

Passo 2

Partindo da nossa função

f x , y = x 2 +   y 2 + x 2 y + 4

f x = 2 x + 2 x y = 0 → 2 x 1 + y = 0 → y = - 1   o u   x = 0

f y = 2 y + x 2 = 0 → y = - x 2 2

Agora vamos determinar os pontos.

Para x = 0 , temos que y = - 0 2 / 2 = 0 , então o nosso primeiro ponto é ( 0,0 )

Para y = - 1 , temos - 1 = - x 2 / 2 , x = ± 2 , o que nos dá os pontos ( 2 ,   - 1 ) e ( - 2 ,   - 1 ) .

Passo 3

As segundas derivadas parciais são: f x x = 2 + 2 y , f x y = 2 x e f y y = 2 .

Então temos que

D x , y = f x x . f y y - f x y x , y 2

D x , y = 2 + 2 y 2 - 2 x 2

D x , y = - 4 x 2 + 4 y + 4

Passo 4

Usando o teste da segunda derivada com os 3 pontos críticos, temos:

  • 0,0 → D = 4 > 0   e   f x x = 2 > 0 → mínimo local
  • 2 ,   - 1 → D = - 8 < 0 → ponto de sela
  • - 2 , - 1 → D = - 8 < 0 → ponto de sela

    • Resposta

  • 0,0 → D = 4 > 0   e   f x x = 2 > 0 → mínimo local
  • 2 ,   - 1 → D = - 8 < 0 → ponto de sela
  • - 2 , - 1 → D = - 8 < 0 → ponto de sela

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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