Enunciado

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.

f x , y = 9 - 2 x + 4 y - x 2 - 4 y 2

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:

f x , y = 9 - 2 x + 4 y - x 2 - 4 y 2

Queremos determinar os valores de máximos e mínimos locais.

Para isso, precisamos fazer as derivadas parciais com relação à x e y e igualar os seus resultados a zero para encontrarmos os pontos críticos.

Em seguida, iremos fazer as segundas derivadas parciais f x x ,   f x y ,   f y y e aplicar na seguinte expressão (chamada de teste da segunda derivada):

D x , y = f x x ⋅ f y y - f x y x , y 2

Com isso, a gente analisa as seguintes proposições:

  • Se D > 0 e f x x x , y > 0 , então f x , y é um mínimo local;
  • Se D > 0 e f x x x , y < 0 , então f x , y é um máximo local;
  • Se D < 0 , não é nem máximo e nem mínimo local.

Em relação ao gráfico, iremos utilizar o GeoGebra para plotarmos o gráfico dessa função.

Passo 2

Calculando então as derivadas parciais:

f x , y = 9 - 2 x + 4 y - x 2 - 4 y ²

Encontrando primeiro f x :

f x = 2 - 2 x

Agora iremos atras do primeiro ponto critico:

2 - 2 x = 0

x = - 1

Agora o mesmo para f y :

f y = 4 - 8 y

4 - 8 y = 0

y = 1 2

Assim, o único ponto crítico seria

( - 1 , 1 2 )

As segundas derivadas parciais são:

f x x = - 2

f x y = 0

e

f y y = - 8

Passo 3

Então, agora vamos ao teste da segunda derivada:

D x , y = f x x ⋅ f y y - f x y x , y 2

Substituindo os valores dos pontos críticos:

D x , y =   - 2 - 8 - 0 2 = 16

Como, D > 0   e   f x x < 0 , temos que f ( - 1 , 1 2 ) é um máximo local.

Resposta

O único ponto crítico é ( - 1 ,   1 / 2 ) .

f ( - 1 , 1 2 ) é um máximo local

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