Considere o seguinte problema: uma caixa sem tampa deve ser construída a partir de um pedaço quadrado de papelão, com metros de largura, cortando fora um quadrado de cada um dos quatro cantos e dobrando para cima os lados. Encontre o maior volume que essa caixa poderá ter.

1. Faça vários diagramas para ilustrar a situação, algumas caixas baixas com bases grandes e outras altas com base pequena. Parece existir um volume máximo? Se a resposta for sim, estime-o.
2. Faça um diagrama ilustrando a situação geral. Introduza a notação e marque no diagrama seus símbolos.
3. Escreva uma expressão para o volume.
4. Use a informação dada para escrever uma equação que relacione as variáveis.
5. Use a parte (d) para escrever o volume como uma função de uma só variável.
6. Acabe de resolver o problema e compare sua resposta com sua estimativa da parte (a).

a) Vamos começar esboçando os diagramas com as especificações da caixa que o enunciado nos deu. Há muitas formas de fazer isso, essas são algumas delas:

Temos que os volumes são, respectivamente e . Logo, parece que o volume máximo é .

(b) Agora vamos fazer um diagrama ilustrando a situação geral, definindo como o lado do quadrado a ser cortado e como o comprimento da base. Assim, temos:

(c) Pra escrever uma expressão para o volume, vamos considerar o produto da área da base, , pela altura . Assim, teremos:

(d) Agora para relacionar todas as variáveis, vamos calcular o perímetro dessa caixa de papelão de comprimento . Dessa forma, podemos somar os comprimentos dos lados e obter:

E isolando , temos:

(e) Então, usando o resultado do passo anterior, vamos substituir essa expressão () na equação do volume, obtida no passo , e escrevê-lo em função de uma só variável. Assim, temos:

(f) Agora para comparar com a estimativa de volume máximo da parte (a), vamos encontrar os pontos críticos dessa equação do volume, derivando-a e igualando-a a zero.

Assim, derivando, temos:

E igualando esse resultado a zero:

Isolando , temos:

Ou

Como não podemos ter o valor , porque ela não tem uma altura nula, temos somente que:

Assim, obtemos:

Substituindo isso na expressão de , temos:

Logo, nosso volume máximo será dado por:

Que é o mesmo valor da estimativa na parte (a)

Valeu, galera! Até a próxima! 😉