a. A função y = cotg x - raiz(2) * cossec x possui um valor máximo absoluto no intervalo 0 < x < pi . Determine-o.

b. Esboce o gráfico da função e compare o que você observa com a resposta do item (a).

Passo 1

O exercício nos afirma que a função tem um ponto de máximo absoluto dentro do intervalo 0 < x < π e pede para que determinemos quem ele é, depois o problema nos pede para plotarmos o gráfico de y = f ( x ) e compararmos com o que achamos no item (a).

Passo 2

Peguemos nossa função f x =   y   =   c o t g   x   - 2   c o s s e c   x e a derivemos

f ' x =   - c o s s e c   x - 2 ⋅ [ - c o s s e c x ⋅ c o t g ⁡ ( x ) ]

f ' x = c o s s e c x ⋅ [ 2 ⋅ c o t g x - c o s s e c x ]

Para encontrarmos os pontos críticos, candidatos a máximo ou mínimo, façamos f ' x = 0

c o s s e c x ⋅ 2 ⋅ c o t g x - c o s s e c x = 0

c o s s e c x = 0

No intervalo 0 < x < π não temos solução. Assim, nos sobra

2 ⋅ c o t g x - c o s s e c x = 0

2 ⋅ c o t g x = c o s s e c x

2 ⋅ cos ⁡ x s e n x = 1 s e n x

2 ⋅ cos ⁡ x = 1

cos ⁡ x = 1 2

→ x = π 4

Analisando o comportamento da derivada temos y ' > 0 em 0 < x < π 4 e y ' < 0 em π 4 < x < π . Portanto, quando x = π 4 teremos o máximo valor de f x = y que é y = - 1 .

Passo 3

O esboço do gráfico fica sendo

O gráfico confirma o que foi encontrado no item a.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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