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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.6 - Ex. 66

a. A função y = t g x + 3 c o t g x possui um valor mínimo absoluto no intervalo 0 < x < π 2 . Determine-o.

b. Esboce o gráfico da função e compare o que você observa com a resposta do item (a).

Passo 1

O exercício nos afirma que a função tem um ponto de mínimo absoluto dentro do intervalo 0 < x < π 2 e pede para que determinemos quem ele é, depois o problema nos pede para plotarmos o gráfico de y = f ( x ) e compararmos com o que achamos no item (a).

Passo 2

Peguemos nossa função y = t g x + 3 c o t g x e a derivemos

f ' x = sec 2 ⁡ x - 3 c o s s e c 2 x

Para encontrarmos os pontos críticos, candidatos a máximo ou mínimo, façamos f ' x = 0

sec 2 ⁡ x - 3 c o s s e c 2 x = 0

sec 2 ⁡ x = 3 c o s s e c 2 x

1 cos 2 ⁡ x = 3 ⋅ 1 s e n 2 x

t g 2 x = 3

Para o intervalo de 0 < x < π 2 temos t g x > 0 . Assim,

t g x = 3

→ x = π 3

Analisando a segunda derivada da nossa função f x = y temos

f " ( x )   =   2 s e c ² ( x ) ⋅ t g ( x )   +   6 c o s s e c ² ( x ) ⋅ c o t g ( x )

Para qualquer valor no intervalo dado f " ( x )   > 0 . Portanto x = π 3 é ponto de mínimo absoluto dentro do intervalo e o mínimo valor de y = f x é y = 2 3 .

Passo 3

O esboço do gráfico fica sendo

O gráfico confirma o que foi encontrado no item a.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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