1. Qual é a distância mínima da curva y   = x ao ponto ( 3 2 ,   0 ) ? (Dica: minimizando o quadrado da distância, você evita trabalhar com raízes quadradas.)
  2. Trace o gráfico da função distância D(x) juntamente com o de y   = x e concilie o que você observa com a resposta do item (a)

Passo 1

O problema quer que calculemos a distância mínima da curva ao ponto dados, além disso, dá uma dica para evitar trabalhar com raiz quadrada que é minimizar o quadrado da distância (que vem da fórmula da distância entre 2 pontos: d a , b = x a - x b 2 + y a - y b 2 ). Por fim, pede pra traçar a curva dada juntamente com a função D ( x ) que encontramos resolvendo o item (a).

Passo 2

Os pontos que pertencem à curva y = x são pontos do tipo ( x   ,   x ) . Adotando a função D ( x ) como sendo a função que representa o quadrado da distância, como a dica nos sugere, utilizando a distância entre dois pontos teremos

D x = x - 3 2 2 + x - 0 2

D x = x - 3 2 2 + x 2

D x = x 2 - 2 ⋅ 3 2 ⋅ x + 9 4 + x

D x = x 2 - 3 x + 9 4 + x

D x = x 2 - 2 x + 9 4

Para função do segundo grau, sabemos que seu valor máximo/mínimo absoluto se encontra no vértice, para tal basta fazermos D ' x = 0

2 x - 2 = 0

2 x = 2

x = 2 2

x = 1

Portanto, nossa função tem valor mínimo quando x = 1 . Assim, a distância mínima será dada por D 1 .

D 1 = 1 2 - 2 ⋅ 1 + 9 4

D 1 = 1 - 2 + 9 4

D 1 = - 1 + 9 4

D 1 =   - 4 4 + 9 4 = 5 4

Finalmente,

D 1 =   5 4 = 5 2

Passo 3

Plotando os 2 gráficos obtemos

A distância mínima do ponto 3 2   ,   0 ao ponto ( 1 ,   1 ) no gráfico de y = x ocorre quando x = 1 e nossa função D ( x ) assume seu valor mínimo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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