Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 30c

Considere o sistema com duas massas e três molas cujas equações de movimento são as Eq.

(22) no texto. Suponha que m 1   =   1 ,   m 2   =   4 / 3 ,   k 1   =   1 ,   k 2   =   3   e   k 3   =   4 / 3 .

(a) Como no texto, transforme o sistema em quatro equações de primeira ordem da forma y ’ = A y . Determine a matriz de coeficientes A .

(b) Encontre os autovalores e autovetores de A .

(c) Escreva a solução geral do sistema.

(d) Descreva os modos fundamentais de vibração. Para cada modo fundamental, desenhe gráficos de y1 e de y2 em função de t. Desenhe, também, as trajetórias correspondentes nos planos y1y3 e y2y4.

(e) Considere as condições iniciais y ( 0 )   =   2 ,   1 ,   0 ,   0 T . Calcule as constantes arbitrárias na

solução geral do item (c). Qual é o período do movimento nesse caso? Desenhe gráficos de y1 e de y2 em função de t. Desenhe, também, as trajetórias correspondentes nos planos y1y3 e y2y4. Certifique-se de que você compreende como as trajetórias são percorridas durante um período completo.

(f) Considere outras condições iniciais de sua escolha e desenhe gráficos semelhantes aos

pedidos no item (e).

Passo 1

Como nós desejamos escrever a solução geral em função de y ,e vamos aproveitar já e escrever a exponencial imaginária na forma trigonétrica, temos que:

y 1 = ξ 1 e r 1 t

y 2 = ξ 2 e r 2 t

y 3 = ξ 3 e r 3 t

y 4 = ξ 4 e r 4 t

y 1 = 1 1 i i cos ⁡ t + i   s e n   t

y 2 = 1 1 - i - i cos ⁡ t + i   s e n   t

y 3 = 4 - 3 10 i - 15 2 i cos ⁡ 5 2 t + i   s e n 5 2 t

y 4 = 4 - 3 - 10 i 15 2 i cos ⁡ 5 2 t - i   s e n 5 2 t

Passo 2

Escrevendo a solução geral temos que:

y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + c 3 y 3 + c 4 y 4

Como desejamos encontrar a solução real, ou seja o real valor da solução, nós podemos pelo teorema 7.4.5 escolher, separar, a parte real e a parte imaginária de nosso y 1 … y 4 .

y 1 = cos ⁡ t cos ⁡ t - s e n   t - s e n   t + i s e n   t s e n   t cos ⁡ t cos ⁡ t

y 3 = 4 cos ⁡ 5 2 t - 3 cos ⁡ 5 2 t - 10 s e n 5 2 t 15 2 s e n 5 2 t + i 4 s e n 5 2 t - 3 s e n 5 2 t 10 cos ⁡ 5 2 t - 15 2 cos ⁡ 5 2 t

Separando cada uma da matrizes por variáveis independentes temos:

u 1 = cos ⁡ t cos ⁡ t - s e n   t - s e n   t

v 1 = s e n   t s e n   t cos ⁡ t cos ⁡ t

u 2 = 4 cos ⁡ 5 2 t - 3 cos ⁡ 5 2 t - 10 s e n 5 2 t 15 2 s e n 5 2 t

v 2 = 4 s e n 5 2 t - 3 s e n 5 2 t 10 cos ⁡ 5 2 t - 15 2 cos ⁡ 5 2 t

Passo 3

E finalmente podemos escrever nossa solução final como:

y = c 1 u 1 + c 2 v 1 + c 3 u 2 + c 4 v 2

y = c 1 cos ⁡ t cos ⁡ t - s e n   t - s e n   t + c 2 s e n   t s e n   t cos ⁡ t cos ⁡ t + c 3 4 cos ⁡ 5 2 t - 3 cos ⁡ 5 2 t - 10 s e n 5 2 t 15 2 s e n 5 2 t + c 4 4 s e n 5 2 t - 3 s e n 5 2 t 10 cos ⁡ 5 2 t - 15 2 cos ⁡ 5 2 t

Resposta

c)

y = c 1 cos ⁡ t cos ⁡ t - s e n   t - s e n   t + c 2 s e n   t s e n   t cos ⁡ t cos ⁡ t + c 3 4 cos ⁡ 5 2 t - 3 cos ⁡ 5 2 t - 10 s e n 5 2 t 15 2 s e n 5 2 t + c 4 4 s e n 5 2 t - 3 s e n 5 2 t 10 cos ⁡ 5 2 t - 15 2 cos ⁡ 5 2 t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 10 :(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.(b) Encontre, também, a matriz fundamental Φ ( t ) que satisfaz Φ ( 0 )=I . x ' = 5 - 1 3 1 x
Em cada um dos problemas de 1 a 10 :(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.(b) Encontre, também, a matriz fundamental Φ ( t ) que satisfaz Φ ( 0 )=I . x ' = 1 - 1 4 3 2 -
Em cada um dos problemas de 1 a 10 :(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.(b) Encontre, também, a matriz fundamental Φ ( t ) que satisfaz Φ ( 0 )=I . x ' = 3 - 2 2 - 2 x
Em cada um dos problemas de 1 a 10 :(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.(b) Encontre, também, a matriz fundamental Φ ( t ) que satisfaz Φ ( 0 )=I . x ' = 1 1 4 - 2 x
Mostre que, seA for uma matriz diagonal com elementos diagonais a 1 ,a 2 , . . . ,a n , então e x p ( A t ) também será uma matriz diagonal com elementos diagonais e x p ( a 1 t ) ,e x p ( a 2 t ) , .