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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 29

Considere o sistema com duas massas e três molas do Exemplo 3 no texto. Em vez de converter o problema em um sistema de quatro equações de primeira ordem, vamos indicar aqui como proceder diretamente das Eqs. (22).

(a) Mostre que as Eqs. (22) podem ser escritas na forma

x ' ' = - 2 3 / 2 4 / 3 - 3 x = A x

(b)Suponha que x = ξ e r t e mostre que

A - r 2 I ξ = 0

Note que r 2 (em vez de r ) é um autovalor de A associado ao autovetor ξ .

(c) Encontre os autovalores e autovetores de A .

(d) Escreva expressões para x1 e x2. Deve haver quatro constantes arbitrárias nessas expressões.

(e) Diferenciando os resultados do item (d), escreva expressões para x 1 ' e x 2 ' . Seus resultados

nos itens (d) e (e) devem estar de acordo com a Eq. (31) no texto.

Passo 1

Dando uma leve retomada no livro temos que as equações (22), que ele se refere são:

m 1 d 2 x 1 d t 2 = - k 1 + k 2 x 1 + k 2 x 2

m 2 d 2 x 2 d t 2 = k 2 x 1 - k 2 + k 3 x 2

a) Nossa missão aqui é escrever essas equações na forma matricial, bem vamos lá:

Primeiramente vamos isolar as variáveis x 1 e x 2 :

x 1 ' ' = - k 1 + k 2 m 1   x 1   + k 2 m 1 x 2

x 2 ' ' = k 2 m 2     x 1 - k 2 + k 3 m 2   x 2

Agora generalizando as variáveis x pode escreve-las:

x ' ' = - k 1 + k 2 m 1 k 2 m 1 k 2 m 2 - k 2 + k 3 m 2 x

Agora retomando novamente mais um pouco no livro, temos que no exemplo 3 do capítulo 7, seção 6, temos m 1 = 2 , m 2 = 9 4 , k 1 = 1 , k 2 = 3 e k 3 = 15 4 .

Substituindo estas variáveis temos que nossa resposta final fica:

x ' ' = - 2 3 / 2 4 / 3 - 3 x = A x

Passo 2

b) Suponha que x = ξ e r t , bem a sacada aqui é saber que este x é o mesmo x que estamos trabalhando na forma matricial, em outras palavras este cara aqui x ' ' = A x , portanto para provarmos oque ele deseja, vamos primeiramente derivar até a segunda derivada o primeira suposição e iremos igualar o resultado a forma matricial.

x = ξ e r t

x ' = r ξ e r t

x ' ' = r 2   ξ e r t

Igualando a forma matricial:

x ' ' = x ' '

r 2 ξ e r t = A x

E como sabemos que x = ξ e r t , pois ele disse para suponhamos, fica:

r 2 ξ e r t = A ξ e r t

r 2 ξ = A ξ

A - r 2 I ) ξ = 0

Passo 3

c)Para determinar os autovalores e autovetores de A , para os autovalores aplicaremos esta relação:

det ⁡ A - r 2 I = 0

- 2 3 2 4 3 - 3 - r 2 0 0 r 2 = 0

- 2 - r 2 3 2 4 3 - 3 - r 2 = 0

Executando o determinante temos:

r 2 + 1 r 2 + 4 = 0

Resolvendo esta equação temos os autovalores:

r 1 2 = - 1 ,     r 2 2 = - 4

Para os autovetores temos:

x = ξ e r t

- 2 - r 2 3 2 4 3 - 3 - r 2 ξ 1 ξ 2 = 0 0

Executando para r 2 = - 1 , temos que:

- 1 3 2 4 3 - 2 ξ 1 ξ 2 = 0 0

Simplificando a matriz por escalonamento temos resultado final como:

- ξ 1 + 3 2 ξ 2 = 0

Resultando no autovetor:

ξ 1 = 3 2

Repetindo para r 2 = - 4 , temos:

2 3 2 4 3 1 ξ 1 ξ 2 = 0 0

Simplificando a matriz por escalonamento temos resultado final como:

2 ξ 1 + 3 2 ξ 2 = 0

Tendo o autovetor:

ξ 2 = 3 - 4

Passo 4

d) Bem para possuirmos mais 4 outras variáveis, vamos nós atentar aos autovalores pois, se rescrevermos eles assim:

r 1 2 = - 1 = r 1 = ± i

r 2 2 = - 4 = r 2 = ± 2 i

Substituindo r em x , temos:

x 1 = ξ 1 e i t

x 1 = ξ 1 e - i t

x 2 = ξ 2 e 2 i t

x 2 = ξ 2 e - 2 i t

Transformando na forma trigonométrica e substituindo os autovetores:

x 1 = 3 2 cos ⁡ t + i   s e n   t

x 1 = 3 2 cos ⁡ t - i   s e n   t

x 2 = 3 - 4 cos ⁡ 2 t + i   s e n   2 t

x 2 = 3 - 4 cos ⁡ 2 t - i   s e n   2 t

E se desejamos executar a resposta correta devemos lembrar do teorema 7.4.5 e tendo a parte real e imaginaria, podemos escrever:

u 1 = 3 cos ⁡ t 2 cos ⁡ t

v 1 = 3 s e n   t 2 s e n   t

u 2 = 3 cos ⁡ 2 t - 4 cos ⁡ 2 t

v 2 = 3 s e n   2 t - 4 s e n   2 t

Escrevendo a solução geral para x 1 , temos:

x = c 1 u 1 + c 2 v 1 + c 3 u 2 + c 4 v 2

Reescrevendo para x 1 , temos:

x 1 = c 1 3 cos ⁡ t + c 2 3 s e n   t + c 3 3 cos ⁡ 2 t + c 4 3   s e n   2 t

Para x 2 :

x 2 = c 1 2 cos ⁡ t + c 2 2   s e n   t - c 3 4 cos ⁡ 2 t   - c 4 4   s e n   2 t

E vamos aproveitar aqui este resultado final para fazer suas derivadas e respondera letra (d), que é oque o enunciado deseja:

x 1 ' = - 3 c 1 s e n   t + 3 c 2 cos ⁡ t - 6 c 3 s e n   2 t + 6 c 4 cos ⁡ 2 t

x 2 ' = - 2 c 1 s e n   t + 2 c 2 cos ⁡ t + 8 c 3 s e n   2 t - 8 c 4 cos ⁡ 2 t

Resposta

a) x ' ' = - 2 3 / 2 4 / 3 - 3 x = A x

b) r 1 2 = - 1 ,     r 2 2 = - 4

ξ 1 = 3 2

ξ 2 = 3 - 4

c) x 1 = c 1 3 cos ⁡ t + c 2 3 s e n   t + c 3 3 cos ⁡ 2 t + c 4 3   s e n   2 t

x 2 = c 1 2 cos ⁡ t + c 2 2   s e n   t - c 3 4 cos ⁡ 2 t   - c 4 4   s e n   2 t

d) x 1 ' = - 3 c 1 s e n   t + 3 c 2 cos ⁡ t - 6 c 3 s e n   2 t + 6 c 4 cos ⁡ 2 t

x 2 ' = - 2 c 1 s e n   t + 2 c 2 cos ⁡ t + 8 c 3 s e n   2 t - 8 c 4 cos ⁡ 2 t

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