10. Considere o problema de encontrar uma solução da equação de Laplace no retângulo , , que satisfaz as condições de contorno

Esse é um exemplo de Neumann.

A - Mostre que a equação de Laplace e as condições de contorno homogênea determinam o conjunto fundamental de soluções

B - Através da superposição das soluções fundamentais do item (a), determine, formalmente, uma função que satisfaz também a condição de contorno não homogênea . Note que, quando se calcula , o termo constante em é eliminado e não há condição da qual se possa determinar . Além disso, tem que ser possível representar f por uma série de Série de Fourier em cossenos de período sem termo constante. Isso significa que

é uma condição necessária para que o problema dado tenha solução. Finalmente, note que permanece arbitrário e, portanto, a solução está determinada a menos dessa constante aditiva. Essa é uma propriedade de todos os problemas de Neumann.

Vamos resolver agora a equação que tem duas condições (de contorno), que vai ser

Aqui temos duas coisas para fazer, resolver essa equação como sempre fazemos ou olhar o formulário, que nesse caso tem a solução dessa equação, fica sempre atento se tem a solução dessas equações no formulário, isso vai te poupar muita conta. Vamos fazer como se não tivéssemos a resposta no formulário.

Isso nos diz que temos a seguinte equação característica

Caso 1: . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:

Agora vamos usar as condições de contorno: , para isso primeiro vamos achar a derivada de

Assim temos

Isso nos dá

Substituindo na segunda equação

E

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.

Caso 2: . Nesse caso, . As soluções são do tipo:

Agora vamos usar as condições de contorno: , para isso primeiro vamos achar a derivada de

Assim temos

E a nossa solução vai ser

Beleza, vamos ver o 3º caso agora!

Caso 3: . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:

Substituindo

Agora vamos usar as condições de contorno: , para isso primeiro vamos achar a derivada de

Assim vamos ter

E

Assim vamos ter, pela primeira equação, como

Assim temos

Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.

O seno se anula em , , ... , múltiplos inteiros de . Logo, podemos dizer que:

As soluções do 3º caso são então do tipo:

Como achamos dois casos, vamos ter dois tipos de solução

Tendo os valores de , resolver a outra EDO

Beleza, agora temos que resolver o problema em , temos:

A equação característica dessa EDO é a seguinte:

Temos dois casos para , vamos começar fazendo

Assim

E a solução vai ser

A condição dele vai ser

Derivando vamos ter

Assim

E a nossa solução vai ser

Agora vamos para .

Assim as soluções são do tipo

Com

Não está errado escrever assim, mas é usual representar a solução dessa EDO (que é a combinação de exponenciais) dessa forma:

Onde usualmente pegamos como a raiz positiva.

Então, as soluções da EDO em são:

Aplicando a condição , precisamos primeiro achar a sua derivada

Assim vamos ter

Assim

Assim temos

Podemos resumir as soluções de

Vamos juntar as soluções de e para termos as soluções de , vamos juntar todas as constantes e chamar de ou , assim vamos ter

b)

Vamos escrever a solução do nosso problema como a combinação linear das , temos que

Vamos usar a última condição que ele deu para ver o que temos. Assim vamos ter

Calculando a derivada em de

Assim temos

OPA! Repare que essa é a representação de Fourier para em cossenos podemos obter os coeficientes de Fourier dessa forma aqui:

De modo que...

Mas o coeficiente fica indeterminado como o enunciado nos disse.