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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.1 - Ex. 15

Considere o sistema linear homogêneo

x ' = p 11 t x + p 12 t y ;

y ' = p 21 t x + p 22 ( t ) y

Mostre que, se x = x 1 t , y = y 1 t e x = x 2 t , y = y 2 t forem duas soluções do sistema dado, então x = c 1 x 1 t + c 2 x 2 t , y = c 1 y 1 t + c 2 y 2 t também será solução, quaisquer que sejam as constantes c 1 e c 2 . Esse é o princípio da superposição.

Passo 1

Vamos começar reescrevendo o sistema. Dessa forma:

x ' - p 11 t x - p 12 t y = 0

y ' - p 21 t x - p 22 t y = 0

As soluções do sistema são: x = x 1 t , y = y 1 t e x = x 2 t , y = y 2 t . O exercício nos pede para provar o princípio da superposição.

Passo 2

Vamos começar aplicando a solução x = x 1 e y = y 1 no sistema:

x 1 ' ( t ) - p 11 t x 1 - p 12 t y 1 = 0

y 1 ' - p 21 t x 1 - p 22 t y 1 = 0

Vamos chamar esse sistema de (I).

Substituindo agora a solução x = x 2 t e y = y 2 t :

x 2 ' ( t ) - p 11 t x 2 - p 12 t y 2 = 0

y 2 ' - p 21 t x 2 - p 22 t y 2 = 0

Esse sistema chamaremos de (II).

Se aplicarmos agora x = c 1 x 1 e y = c 1 y 1 :

c 1 x 1 ' ( t ) - p 11 t c 1 x 1 - p 12 t c 1 y 1 = 0

c 1 y 1 ' - p 21 t c 1 x 1 - p 22 t c 1 y 1 = 0

Que podemos escrever como:

c 1 x 1 ' t - p 11 t x 1 - p 12 t y 1 = 0

c 1 y 1 ' - p 21 t x 1 - p 22 t y 1 = 0

Que é exatamente o sistema (I) multiplicado por c 1 . Então x = c 1 x 1 e y = c 1 y 1 também é solução do sistema.

Se fizermos o mesmo para x = c 2 x 2 , y = c 2 y 2 :

c 2 x 2 ' ( t ) - p 11 t c 2 x 2 - p 12 t c 2 y 2 = 0

c 2 y 2 ' - p 21 t c 2 x 2 - p 22 t c 2 y 2 = 0

Que podemos escrever como:

c 2 ( x 2 ' ( t ) - p 11 t x 2 - p 12 t y 2 ) = 0

c 2 ( y 2 ' - p 21 t x 2 - p 22 t y 2 ) = 0

Que é o sistema (II) multiplicado por c 2 . Então x = c 2 x 2 e y = c 2 y 2 também é solução do sistema.

Passo 3

Nosso próximo será aplicar x = c 1 x 1 t + c 2 x 2 t , y = c 1 y 1 t + c 2 y 2 t para verificar se esta também é uma solução do sistema. Vamos lá???

x ' - p 11 t x - p 12 t y = 0

y ' - p 21 t x - p 22 t y = 0

( c 1 x 1 t + c 2 x 2 t ) ' - p 11 t ( c 1 x 1 t + c 2 x 2 t ) - p 12 t ( c 1 y 1 t + c 2 y 2 t ) = 0

( c 1 y 1 t + c 2 y 2 t ) ' - p 21 t ( c 1 x 1 t + c 2 x 2 t ) - p 22 t ( c 1 y 1 t + c 2 y 2 t ) = 0

c 1 x 1 ' - p 11 t c 1 x 1 - p 12 t c 1 y 1 + c 2 x 2 ' - p 11 t c 2 x 2 - p 12 t c 2 y 2 = 0

c 1 y 1 ' - p 21 t c 1 x 1 - p 22 t c 1 y 1 + c 2 y 2 ' - p 21 t c 2 x 2 - p 22 t c 2 y 2 = 0

c 1 x 1 ' t - p 11 t x 1 - p 12 t y 1 + c 2 x 2 ' t - p 11 t x 2 - p 12 t y 2 = 0

c 1 y 1 ' - p 21 t x 1 - p 22 t y 1 + c 2 y 2 ' - p 21 t x 2 - p 22 t y 2 = 0

Como já vimos:

c 1 x 1 ' t - p 11 t x 1 - p 12 t y 1 = 0

c 1 y 1 ' - p 21 t x 1 - p 22 t y 1 = 0

c 2 ( x 2 ' ( t ) - p 11 t x 2 - p 12 t y 2 ) = 0

c 2 ( y 2 ' - p 21 t x 2 - p 22 t y 2 ) = 0

Então se substituirmos no sistema ficamos com

0 = 0

0 = 0

O que prova que x = c 1 x 1 t + c 2 x 2 t e y = c 1 y 1 t + c 2 y 2 t também é solução.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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