Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.7 - Ex. 16

16. Considere o sistema de equações

x ' = μ x + y - x x 2 + y 2 ,                 y ' = - x + μ y - y x 2 + y 2         i

em que μ é um parâmetro. Observe que esse sistema é o mesmo que o do Exemplo 1, exceto pela introdução de μ .

(a) Mostre que a origem é o único ponto crítico.

(b) Encontre o sistema linear que aproxima as Eqs. ( i ) perto da origem e seus autovalores. Determine o tipo e a estabilidade do ponto crítico na origem. Como essa classificação depende de μ ?

(c) Referindo-se ao Exemplo 1, se necessário, coloque as Eqs. ( i ) em coordenadas polares.

(d) Mostre que, quando μ   >   0 , existe uma solução periódica. Resolvendo o sistema encontrado no item (c), ou fazendo gráficos de soluções aproximadas calculadas numericamente, conclua que essa solução periódica atrai todas as outras soluções não nulas.

Passo 1

L e t r a   A :

Para encontramos o ou os pontos críticos, devemos igualar as derivadas a 0 no nosso sistema:

0 = μ x + y - x x 2 + y 2  

0 = - x + μ y - y x 2 + y 2  

Multiplicando a primeira equação por y e a segunda por x :

0 = μ x y + y 2 - x y x 2 + y 2  

0 = - x 2 + μ y x - y x x 2 + y 2  

Subtraindo a de cima pela de baixo...

y 2 + x 2 = 0

Essa equação de fato só tem solução real se x = 0 e y = 0 e isso basicamente significa de fato que o único ponto crítico 0 ,   0 .

Passo 2

L e t r a   B :

Beleza! Então primeiro montemos o nosso sistema localmente linear removendo as informações de quem são F e G :

x ' = μ x + y - x x 2 + y 2                 →                 F x ,   y = μ x + y - x 3 - x y 2

y ' = - x + μ y - y x 2 + y 2                 →                 G x ,   y = - x + μ y - y x 2 - y 3

Agora encontremos a jacobiana disso:

J x ,   y = F x F y G x G y     →

J x ,   y = μ - 3 x 2 - y 2 1 - 2 x y - 1 - 2 x y μ - x 2 - 3 y 2       →

Substituindo o ponto 0 ,   0 ...

J 0 ,   0 = μ - 3 ⋅ 0 2 - 0 2 1 - 2 ⋅ 0 - 1 - 2 ⋅ 0 μ - 0 2 - 3 ⋅ 0 2   →

J 0 ,   0 = μ 1 - 1 μ

Então o sistema localmente linear será...

x ' y ' = μ 1 - 1 μ x y

Para provar essa questão estabilidade, vamos ter que buscar os autovalores da matriz:

A = μ 1 - 1 μ     →

Então...

det ⁡ A - λ I = 0     →

det ⁡ μ - λ 1 - 1 μ - λ = 0   →

μ - λ 2 + 1 = 0   →

μ - λ 2 = - 1     →

Resolvendo essa equação do segundo grau...

λ = μ ± i

VEJAMOS PRIMEIRO A CONDIÇÃO DE QUE μ = 0

λ = ± i

Logo, nessa condição gerará um sistema harmônico com centro em x = 0 .

VEJAMOS AGORA A CONDIÇÃO DE QUE 0 < μ :

Nessa condição o sistema será instável em espiral.

VEJAMOS AGORA A CONDIÇÃO DE QUE μ < 0 :

Nesse caso, os valores de λ são imaginários com a parte real negativa, portanto teremos um sistema assintoticamente estável em espiral.

Passo 3

L e t r a   C :

Antes de mudarmos as variáveis usando as coordenadas polares, vamos trabalhar um pouquinho aqui com o nosso sistema:

x ' = μ x + y - x x 2 + y 2  

y ' = - x + μ y - y x 2 + y 2

Multiplicando a primeira equação por x e a segunda por y :

x x ' = μ x 2 + x y - x 2 x 2 + y 2  

y y ' = - x y + μ y 2 - y 2 x 2 + y 2

Somando uma da outra...

x x ' + y y ' = μ x 2 + x y - x 2 x 2 + y 2 - x y + μ y 2 - y 2 x 2 + y 2   →

x x ' + y y ' = μ x 2 - x 2 x 2 + y 2 + μ y 2 - y 2 x 2 + y 2   →

x x ' + y y ' = μ x 2 + y 2 - x 2 + y 2 x 2 + y 2   →

x x ' + y y ' = μ x 2 + y 2 - x 2 + y 2 2  

Introduzindo agora as coordenadas polares de modo que...

x = r cos ⁡ θ           e               y = r sin ⁡ θ

De modo que...

r 2 = x 2 + y 2

Se diferenciarmos r com relação à t ...

2 r r ' = 2 x x ' + 2 y y '   →

r r ' = x x ' + y y '

Então...

r r ' = μ r 2 - r 4   →

r ' = μ r - r 3

Poxa, encontramos então uma equação. Falta ainda a equação para θ . Venha comigo então!

Passo 4

Para buscar a equação de θ vamos trazer novamente as equações em x e y :

x ' = μ x + y - x x 2 + y 2  

y ' = - x + μ y - y x 2 + y 2

Multiplicando a primeira equação por y e a segunda por x :

y x ' = μ x y + y 2 - x y x 2 + y 2  

x y ' = - x 2 + μ y x - y x x 2 + y 2

Subtraindo a de cima pela de baixo...

y x ' - x y ' = μ x y + y 2 - x y x 2 + y 2 - - x 2 + μ y x - y x x 2 + y 2   →

y x ' - x y ' = y 2 + x 2   →

Com as coordenadas polares então:

y x ' - x y ' = r 2

Como fizemos para encontrar r ' , vamos agora ter algo semelhante (basta ver o exemplo 1)...

y x ' - x y ' = - r 2 θ '

Então...

θ ' = - 1

RESUMINDO: O nosso sistema em coordenadas polares é mais simples:

r ' = μ r - r 3

θ ' = - 1

Passo 5

L e t r a   D :

Pois bem, a pergunta que surge é: Será que assim como no exemplo 1 esse sistema nos gera uma solução periódica?

SIM!

Se colocarmos r em evidência aqui:

r ' = μ r - r 3   →

r ' = r μ - r 2

Observe que se r = μ , então teremos um r ' = 0 e, portanto, nos gerará uma curva de solução periódica. Resolvendo para θ :

θ = - t + t 0

O que sugere que a curva no retrato de fase de fato será um círculo como no exemplo!

Outra pergunta que surge: será que as demais curvas de soluções são atraídas para o círculo?

SIM!

r ' = r μ - r 2

Veja que se r < μ , então μ - r 2 será positivo e, portanto:

r ' > 0

Já para r > μ ...

r ' < 0

ORA! De acordo com os cálculos anteriores...

r ' > 0       →             r t   c r e s c e n t e

r ' < 0       →             r t   d e c r e s c e n t e

Logo de fato as soluções estão convergindo para o círculo de solução periódica r = μ .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

13. O ciclo limite encontrado no Problema 12 aparece como resultado de uma bifurcação de Hopf em um valor c 1 de c entre 1 e 1,3 . Determine, ou pelo menos estime com mais precisão, o valor de c 1 . E
15.(a) Seja c=3,8 . Encontre os pontos críticos e os autovalores correspondentes.(b) Desenhe a trajetória que começa no ponto ( 1 ,0 ,- 2 ) . Observe que o ciclo limite agora é um 4-ciclo. Encontre o
12. (a) Seja c=1,3 . Encontre os pontos críticos e os autovalores correspondentes. O que você pode concluir dessa informação, se é que pode concluir alguma coisa?(b) Desenhe a trajetória que começa na
x ' = - y - z ,y ' = x + a y ,z ' = b + z x - c em que a, b e c são parâmetros positivos, é conhecido como o sistema de Rössler. 20 É um sistema relativamente simples que consiste em duas equações lin
Considere o elipsoide.Determine uma condição suficiente sobre c para que toda trajetória cruzando V(x, y, z) = c esteja orientada para dentro. Calcule a condição encontrada no caso em que σ = 10, b =