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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 39c

Considere o sistema mola-massa ilustrado na Figura 4.2.4 consistindo em duas massas unitárias suspensas de molas com constantes 3 e 2, respectivamente. Suponha que não há amortecimento no sistema.

Suponha que as condições iniciais são

Use a primeira das Eqs. (i) e as condições iniciais (iii) para obter os valores de (0) e de (0). Depois mostre que a solução da Eq. (ii) que satisfaz as quatro condições iniciais em u1 é u1(t) = cos t. Mostre que a solução correspondente u2 é u2(t) = 2 cos t.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução da nossa equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser montar o sistema:

k 2 u 2 - u 1 - k 1 u 1 = m 1 a 1

- k 2 u 2 - u 1 = m 2 a 2

k 2 = 2

k 1 = 3

m 1 = m 2 = 1

2 u 2 - u 1 - 3 u 1 = u 1 ' '

- 2 u 2 - u 1 = u 2 ' '

Logo, nosso sistema é:

u 1 ' ' + 5   u 1 = 2 u 2 u 2 ' ' + 2 u 2 = 2 u 1

u 1 4 + 7   u 1 ' ' + 6   u 1 = 0

u 1 = e r t

u 1 ' = r e r t

u 1 ' ' = r ² e r t

u 1 ' ' ' = r ³ e r t

u 1 4 = r 4 e r t

r 4 + 7 r 2 + 6 = 0

r =   ± 6 i   ,   ± i

u 1 t = C 5 cos ⁡ 6 t + C 6 sin ⁡ 6 t + C 7 cos ⁡ t + C 8 sin ⁡ t  

C 5 = C 6 = C 8 = 0

C 7 = 1

u 1 t = cos ⁡ t

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

s 2 + 2 = 0

s = ± i 2

u 2 t = C 11 cos ⁡ 2 t   + C 12 sin ⁡ 2 t + 2 cos ⁡ t

C 11 = C 12 = 0

u 2 t = 2 cos ⁡ t

Resposta

u 1 t = cos ⁡ t

u 2 t = 2 cos ⁡ t

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