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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 32

Encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico. Como a solução se comporta quando t → ∞?

.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução da nossa equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser lembrar que:

y = e r t

y ' = r e r t

y ' ' = r ² e r t

y ' ' ' = r ³ e r t

r ³ - r 2 + r - 1   = 0

r = 1 ,   ± i

y t = C 1 e t - C 4 cos ⁡ t - C 5 sin ⁡ t

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

y 0 = 2

y 0 ' = - 1

y 0 ' ' = - 2

C 5 = - 1

C 1 =   0

C 4 =   2

y t = 2 cos ⁡ t - sin ⁡ t

Resposta

y t = 2 cos ⁡ t - sin ⁡ t

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