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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.8 - Ex. 13b

Deduza a expressão na Eq. (13) para Rk/F0.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução da nossa equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar que temos o seguinte:

m u^(' ') + gamma u^' + k u = F_o cos omega t

m u_p^(' ') + gamma u_p^' + k u_p = F_o cos omega t

(- m A omega^2 + gamma B omega + k A) cos omega t + (- m B omega^2 - gamma A omega + k B) sin omega t = F_o cos omega t

- m A omega^2 + gamma B omega + k A = F_o

- m B omega^2 - gamma A omega + k B = 0

A = (F_o (k - m omega^2))/((k - m omega^2)^2 + gamma^2 omega^2)

B = (F_o gamma omega)/((k - m omega^2)^2 + gamma^2 omega^2)

u_p (t) = R cos (omega t - delta)

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

R cos delta = (F_o (k - m omega^2))/((k - m omega^2)^2 + gamma^2 omega^2)

R sin delta = (F_o gamma omega)/((k - m omega^2)^2 + gamma^2 omega^2)

R = (F_o)/(sqrt(m^2 (omega_o^2 - omega^2)^2 + gamma ² omega ²))

cos delta = (m (omega_o^2 - omega^2))/(sqrt(m^2 (omega_o^2 - omega^2)^2 + gamma ² omega ²))

sin delta = (gamma omega)/(sqrt(m^2 (omega_o^2 - omega^2)^2 + gamma ² omega ²))

(R k)/(F_o) = (k)/(F_o) (F_o)/(sqrt(m^2 (omega_o^2 - omega^2)^2 + gamma ² omega ²))

(R k)/(F_o) = (1)/(sqrt((1 - (omega^2)/(omega_o^2))^2 + (gamma^2)/(m k) ((omega^2)/(omega_o^2))))

Resposta

(R k)/(F_o) = (1)/(sqrt((1 - (omega^2)/(omega_o^2))^2 + (gamma^2)/(m k) ((omega^2)/(omega_o^2))))

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