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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.7 - Ex. 11

Use a derivação implícita para determinar d y // d x em

x + t g ( x y ) = 0

Passo 1

Para obtermos o termo d y // d x , devemos derivar a função implicitamente em relação a variável x . Derivação implícita é simples, pois ela segue os mesmos procedimentos e regras de uma derivação normal. Considerando tanto x quanto y como variáveis, vamos utilizar as regras do produto, quociente, da cadeia e todas as outras normalmente. Devemos ter apenas um único cuidado. Veja abaixo as derivadas das funções f ( x ) e g ( y )

(d)/(d x) f (x) = (d f)/(d x) * (d x)/(d x) = (d f)/(d x)

(d)/(d x) g (y) = (d g)/(d x) * (d y)/(d x)

Ao derivarmos as funções que depende de x , derivamos elas normalmente. Já ao derivarmos as funções de y , podemos derivá-las normalmente também. Entretanto, não podemos esquecer de multiplicar ao final por d y // d x !

Vejamos abaixo na prática como isto funciona.

Passo 2

Vamos derivar a nossa função:

[x + t g ( x y )]^' = [ 0 ]^'

Temos que derivar funções trigonométricas agora. O procedimento continua exatamente o mesmo. Basta visualizar como regra da cadeia. A derivada da função de fora (t g (u)) aplicada a de dentro ( x y ) vezes a derivada da de fora. Temos então:

1 + sec^2 ( x y ) * [ x y ] ' = 0

Precisamos agora aplicar a regra do produto. Então:

1 + sec^2 ( x y ) * ([x]^' y + x [y]^') = 0

1 + sec^2 ( x y ) * (y + x * (d y)/(d x)) = 0

(d y)/(d x) = (- 1 - y sec^2 ( x y ))/(x sec^2 ( x y ))

Resposta

(d y)/(d x) = (- 1 - y sec^2 ( x y ))/(x sec^2 ( x y ))

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