Use a derivação implícita para determinar d y // d x em

2 x y + y^2 = x + y

Passo 1

Para obtermos o termo d y // d x , devemos derivar a função implicitamente em relação a variável x . Derivação implícita é simples, pois ela segue os mesmos procedimentos e regras de uma derivação normal. Considerando tanto x quanto y como variáveis, vamos utilizar as regras do produto, quociente, da cadeia e todas as outras normalmente. Devemos ter apenas um único cuidado. Veja abaixo as derivadas das funções f ( x ) e g ( y )

(d)/(d x) f (x) = (d f)/(d x) * (d x)/(d x) = (d f)/(d x)

(d)/(d x) g (y) = (d g)/(d x) * (d y)/(d x)

Ao derivarmos as funções que depende de x , derivamos elas normalmente. Já ao derivarmos as funções de y , podemos derivá-las normalmente também. Entretanto, não podemos esquecer de multiplicar ao final por d y // d x !

Vejamos abaixo na prática como isto funciona.

Passo 2

Vamos derivar a nossa função:

[2 x y + y^2]^' = [ x + y ] '

2 [x y]^' + [y^2]^' = [x]^' + [ y ] '

Aplicando a regra do produto, temos:

2 * ( [x]^' y + x [y ]^') + [y^2]^' = [x]^' + [ y ] '

2 * (y + x * (d y)/(d x)) + 2 y * (d y)/(d x) = 1 + (d y)/(d x)

2 x * (d y)/(d x) + 2 y * (d y)/(d x) - (d y)/(d x) = 1 - 2 y

(2 x + 2 y - 1) * (d y)/(d x) = 1 - 2 y

(d y)/(d x) = (1 - 2 y)/(2 x + 2 y - 1)

Resposta

(d y)/(d x) = (1 - 2 y)/(2 x + 2 y - 1)

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