Use a derivação implícita para determinar d y // d x em 2 x y + y^2 = x + y

(d y)/(d x) = (1 - 2 y)/(2 x + 2 y - 1)

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.7 - Ex. 3

Use a derivação implícita para determinar em

Passo 1

Para obtermos o termo , devemos derivar a função implicitamente em relação a variável . Derivação implícita é simples, pois ela segue os mesmos procedimentos e regras de uma derivação normal. Considerando tanto quanto como variáveis, vamos utilizar as regras do produto, quociente, da cadeia e todas as outras normalmente. Devemos ter apenas um único cuidado. Veja abaixo as derivadas das funções e

Ao derivarmos as funções que depende de , derivamos elas normalmente. Já ao derivarmos as funções de , podemos derivá-las normalmente também. Entretanto, não podemos esquecer de multiplicar ao final por !

Vejamos abaixo na prática como isto funciona.

Passo 2

Vamos derivar a nossa função:

Aplicando a regra do produto, temos:

Resposta

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49. Mostre que se é possível desenhar três normais a partir do ponto ( a , 0 ) até a parábola x = y ² ², apresentada no driagrama a seguir; então a deve ser maior que 1 2 . Uma das normais é o eixo x

Nos Exercícios 21-26, use derivação implícita para determinar d y d x e depois d ² y d x ² ² ².24. y 2 - 2 x = 1 - 2 y

Nos Exercícios 21-26, use derivação implícita para determinar d y d x e depois d ² y d x ² ² ².23. y 2 = e x ² + 2 x ²

51. Verifique que os seguintes pares de curvas se encontrem ortogonalmente.a) x 2 + y 2 = 4 ,x 2 = 3 y ² ²

Nos exercícios de 27 a 32, encontre d y d x por derivação implícita.27) ln ⁡ x y + x + y = 2