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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.7 - Ex. 14

Use a derivação implícita para determinar d y // d x em

x cos ( 2 x + 3 y ) = y s e n ( x )

Passo 1

Para obtermos o termo d y // d x , devemos derivar a função implicitamente em relação a variável x . Derivação implícita é simples, pois ela segue os mesmos procedimentos e regras de uma derivação normal. Considerando tanto x quanto y como variáveis, vamos utilizar as regras do produto, quociente, da cadeia e todas as outras normalmente. Devemos ter apenas um único cuidado. Veja abaixo as derivadas das funções f ( x ) e g ( y )

(d)/(d x) f (x) = (d f)/(d x) * (d x)/(d x) = (d f)/(d x)

(d)/(d x) g (y) = (d g)/(d x) * (d y)/(d x)

Ao derivarmos as funções que depende de x , derivamos elas normalmente. Já ao derivarmos as funções de y , podemos derivá-las normalmente também. Entretanto, não podemos esquecer de multiplicar ao final por d y // d x !

Vejamos abaixo na prática como isto funciona.

Passo 2

Vamos derivar a nossa função:

[x cos ( 2 x + 3 y )]^' = [ y s e n ( x ) ]^'

Aplicando a regra da cadeia e a regra do produto, temos:

[x]^' * cos ( 2 x + 3 y ) + x [cos ( 2 x + 3 y )]^' = ([y]^' s e n ( x ) + y [s e n ( x )]^')

cos ( 2 x + 3 y ) + x * - s e n (2 x + 3 y) * ( 2 x + 3 y ) ' = ((d y)/(d x) * s e n (x) + y cos x)

cos ( 2 x + 3 y ) - x * s e n (2 x + 3 y) * (2 + 3 * (d y)/(d x)) = ((d y)/(d x) * s e n (x) + y cos x)

- 3 x * s e n (2 x + 3 y) * (d y)/(d x) - s e n (x) * (d y)/(d x) = y cos x - cos (2 + 3 y) + 2 x s e n ( 2 x + 3 y )

(d y)/(d x) = - (y cos x - cos (2 + 3 y) + 2 x s e n ( 2 x + 3 y ))/((3 x s e n (2 x + 3 y) + s e n (x)))

Resposta

(d y)/(d x) = - (y cos x - cos (2 + 3 y) + 2 x s e n ( 2 x + 3 y ))/((3 x s e n (2 x + 3 y) + s e n (x)))

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