Use a derivação implícita para determinar dy/dx em

x^4 + sen(y) = x^3 * y^2

Passo 1

Para obtermos o termo d y // d x , devemos derivar a função implicitamente em relação a variável x . Derivação implícita é simples, pois ela segue os mesmos procedimentos e regras de uma derivação normal. Considerando tanto x quanto y como variáveis, vamos utilizar as regras do produto, quociente, da cadeia e todas as outras normalmente. Devemos ter apenas um único cuidado. Veja abaixo as derivadas das funções f ( x ) e g ( y )

(d)/(d x) f (x) = (d f)/(d x) * (d x)/(d x) = (d f)/(d x)

(d)/(d x) g (y) = (d g)/(d x) * (d y)/(d x)

Ao derivarmos as funções que depende de x , derivamos elas normalmente. Já ao derivarmos as funções de y , podemos derivá-las normalmente também. Entretanto, não podemos esquecer de multiplicar ao final por d y // d x !

Vejamos abaixo na prática como isto funciona.

Passo 2

Vamos derivar a nossa função:

[x^4 + s e n ( y )]^' = [ x^3 y^2 ]^'

Aplicando a regra da cadeia e a regra do produto, temos:

4 x^3 + cos (y) * [y]^' = [x^3]^' y^2 + x^3 [ y^2 ] '

4 x^3 + cos ( y ) * (d y)/(d x) = 3 x^2 y^2 + 2 x^3 y * (d y)/(d x)

(cos (y) - 2 x^3 y) * (d y)/(d x) = 3 x^2 y^2 - 4 x^3

(d y)/(d x) = (3 x^2 y^2 - 4 x^3)/(cos ( y ) - 2 x^3 y)

Resposta

(d y)/(d x) = (3 x^2 y^2 + y^2 - 2)/(cos ( y ) - 2 x^3 y)

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