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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.1 - Ex. 14

Mostre que, se a 11 , a 12 , a 21 e a 22 forem constantes, com a 12 e a 21 sem serem nulos ao mesmo tempo, e, se as funções g 1 e g 2 forem diferenciáveis, então o problema de valor inicial

x 1 ' = a 11 x 1 + a 12 x 2 + g 1 t ;

x 2 ' = a 21 x 1 + a 22 x 2 + g 2 ( t )

x 1 0 = x 1 0   e   x 2 0 = x 2 0

Poderá ser transformado em um problema de valor inicial para uma única equação de segunda ordem. Pode-se usar o mesmo procedimento se a 11 , a 12 , a 21 e a 22 forem funções de t ?

Passo 1

Vamos começar deixando x 2 em função de x 1 . Nossa primeira equação:

x 1 ' = a 11 x 1 + a 12 x 2 + g 1 t

x 1 ' - a 11 x 1 - g 1 t = a 12 x 2

x 2 = x 1 ' - a 11 x 1 - g 1 t a 12

Substituindo x 2 na segunda equação:

x 2 ' = a 21 x 1 + a 22 x 2 + g 2 ( t )

x 1 ' - a 11 x 1 - g 1 t a 12 ' = a 21 x 1 + a 22 x 1 ' - a 11 x 1 - g 1 t a 12 + g 2 ( t )

Se os coeficientes a 11 , a 12 , a 21 e a 22 são constantes:

1 a 12 x 1 ' ' - a 11 a 12 x 1 ' - 1 a 12 g 1 ' t = a 21 x 1 + a 22 a 12 x 1 ' - a 11 a 22 a 12 x 1 - a 22 a 12 g 1 t + g 2 ( t )

1 a 12 x 1 ' ' - a 11 a 12 + a 22 a 12 x 1 ' + a 11 a 22 a 12 - a 21 x 1 = 1 a 12 g 1 ' t - a 22 a 12 g 1 t + g 2 ( t )

Para terminar a transformação do sistema em uma equação de segunda ordem precisamos definir os valores iniciais de x 1 e x 1 ' .

Como já recebemos no enunciado:

x 1 0 = x 1 0

Vamos agora usar a primeira equação do sistema para definir x 1 ' ( 0 ) :

x 1 ' = a 11 x 1 + a 12 x 2 + g 1 t

x 1 ' 0 = a 11 x 1 0 + a 12 x 2 0 + g 1 ( 0 )

x 1 ' 0 = a 11 x 1 0 + a 12 x 2 0 + g 1 ( 0 )

Passo 2

Então definimos que o sistema dado é equivalente à equação de segunda ordem:

1 a 12 x 1 ' ' - a 11 a 12 + a 22 a 12 x 1 ' + a 11 a 22 a 12 - a 21 x 1 = 1 a 12 g 1 ' t - a 22 a 12 g 1 t + g 2 ( t )

Com

x 1 0 = x 1 0

E

x 1 ' 0 = a 11 x 1 0 + a 12 x 2 0 + g 1 ( 0 )

Veremos agora se é possível repetir o mesmo procedimento se os coeficientes a 11 , a 12 , a 21 e a 22 forem funções de t . Vamos lá???

Nosso primeiro passo foi escrever x 2 em função de x 1 . Então:

x 1 ' = a 11 ( t ) x 1 + a 12 ( t ) x 2 + g 1 t

x 1 ' - a 11 t x 1 - g 1 t = a 12 ( t ) x 2

x 1 ' - a 11 t x 1 - g 1 t a 12 t = x 2

Chegamos aqui na nossa primeira condição para repetir o procedimento. Só podemos seguir adiante se a 12 t ≠ 0 . Tudo bem???

Vamos continuar então. Nosso próximo passo será substituir x 2 na segunda equação.

Passo 3

x 2 ' = a 21 ( t ) x 1 + a 22 ( t ) x 2 + g 2 ( t )

x 1 ' - a 11 t x 1 - g 1 t a 12 t ' = a 21 ( t ) x 1 + a 22 ( t ) x 1 ' - a 11 t x 1 - g 1 t a 12 t + g 2 ( t )

x 1 ' a 12 t ' - a 11 t x 1 a 12 t ' - g 1 t a 12 t ' = a 21 ( t ) x 1 + a 22 ( t ) x 1 ' - a 11 t x 1 - g 1 t a 12 t + g 2 ( t )

Do lado direito da equação não temos grandes restrições para as funções a 11 , a 12 , a 21 e a 22 além da que já apontamos ( a 12 t ≠ 0 ) . Vamos olhar mais de perto os três termos do lado esquerdo. Tudo bem??

O primeiro termo é:

x 1 ' a 12 t ' =

x 1 ' 1 a 12 t ' =

x 1 ' ' 1 a 12 t + x 1 ' 1 a 12 t '  

Chegamos aqui em mais uma condição para que possamos prosseguir. A função f t = 1 a 12 t precisa ser diferenciável, o que também implica que a 12 t ' tem que existir.

Vamos para o próximo termo:

a 11 t x 1 a 12 t ' =

a 11 t x 1 1 a 12 t ' =

a 11 ' x 1 + a 11 x 1 ' 1 a 12 t + a 11 t x 1 1 a 12 t '  

Então, a outra condição é que a função a 11 t precisa ser diferenciável.

Por fim, o último termo:

g 1 t a 12 t ' =

g 1 ' t a 12 t + g 1 t 1 a 12 t '

Em que a condição é que a 12 t ' tem que existir.

Resposta

O sistema dado é equivalente à equação de segunda ordem:

1 a 12 x 1 ' ' - a 11 a 12 + a 22 a 12 x 1 ' + a 11 a 22 a 12 - a 21 x 1 = 1 a 12 g 1 ' t - a 22 a 12 g 1 t + g 2 ( t )

Com condições iniciais:

x 1 0 = x 1 0

E

x 1 ' 0 = a 11 x 1 0 + a 12 x 2 0 + g 1 ( 0 )

Se os coeficientes a 11 , a 12 , a 21 e a 22 forem funções de t pode-se seguir o mesmo raciocínio desde que a 12 t ≠ 0 , e as funções a 11 ( t ) e a 12 sejam diferenciáveis.

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