Mostre que, se a 11 , a 12 , a 21 e a 22 forem constantes, com a 12 e a 21 sem serem nulos ao mesmo tempo, e, se as funções g 1 e g 2 forem diferenciáveis, então o problema de valor inicial x 1 ' = a 11 x 1 + a 12 x 2 + g 1 t ; x 2 ' = a 21 x 1 + a 22 x 2 + g 2 ( t ) x 1 0 = x 1 0ex 2 0 = x 2 0 Poderá ser transformado em um problema de valor inicial para uma única equação de segunda ordem. Pode-se usar o mesmo procedimento se a 11 , a 12 , a 21 e a 22 forem funções de t ?

O sistema dado é equivalente à equação de segunda ordem: 1 a 12 x 1 ' ' - a 11 a 12 + a 22 a 12 x 1 ' + a 11 a 22 a 12 - a 21 x 1 = 1 a 12 g 1 ' t - a 22 a 12 g 1 t + g 2 ( t ) Com condições iniciais: x 1 0 = x 1 0 E x 1 ' 0 = a 11 x 1 0 + a 12 x 2 0 + g 1 ( 0 ) Se os coeficientes a 11 , a 12 , a 21 e a 22 forem funções de t pode-se seguir o mesmo raciocínio desde que a 12 t ≠ 0 , e as funções a 11 ( t ) e a 12 sejam diferenciáveis.

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.1 - Ex. 14

Mostre que, se , , e forem constantes, com e sem serem nulos ao mesmo tempo, e, se as funções e forem diferenciáveis, então o problema de valor inicial

Poderá ser transformado em um problema de valor inicial para uma única equação de segunda ordem. Pode-se usar o mesmo procedimento se , , e forem funções de ?

Passo 1

Vamos começar deixando em função de . Nossa primeira equação:

Substituindo na segunda equação:

Se os coeficientes , , e são constantes:

Para terminar a transformação do sistema em uma equação de segunda ordem precisamos definir os valores iniciais de e .

Como já recebemos no enunciado:

Vamos agora usar a primeira equação do sistema para definir :

Passo 2

Então definimos que o sistema dado é equivalente à equação de segunda ordem:

Com

Veremos agora se é possível repetir o mesmo procedimento se os coeficientes , , e forem funções de . Vamos lá???

Nosso primeiro passo foi escrever em função de . Então:

Chegamos aqui na nossa primeira condição para repetir o procedimento. Só podemos seguir adiante se . Tudo bem???

Vamos continuar então. Nosso próximo passo será substituir na segunda equação.

Passo 3

Do lado direito da equação não temos grandes restrições para as funções , , e além da que já apontamos . Vamos olhar mais de perto os três termos do lado esquerdo. Tudo bem??

O primeiro termo é:

Chegamos aqui em mais uma condição para que possamos prosseguir. A função precisa ser diferenciável, o que também implica que tem que existir.

Vamos para o próximo termo:

Então, a outra condição é que a função precisa ser diferenciável.

Por fim, o último termo:

Em que a condição é que tem que existir.

Resposta

O sistema dado é equivalente à equação de segunda ordem:

Com condições iniciais:

Se os coeficientes , , e forem funções de pode-se seguir o mesmo raciocínio desde que , e as funções e sejam diferenciáveis.

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