Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.1 - Ex. 11

(a) Transforme o sistema dado em uma única equação de segunda ordem.

x 1 ' = 2 x 2 ;

x 2 ' = - 2 x 1

(b) Encontre a solução do sistema dado que também satisfaz as condições iniciais x 1 0 = 3 , x 2 0 = 4 .

(c) Esboce o gráfico da solução no plano x 1 x 2 para t ≥ 0 .

Passo 1

O item (a) nos pede para resolver o sistema de equações. Para isso, vamos primeiro deixar x 2 em função de x 1 :

x 1 ' = 2 x 2

x 2 = 1 2 x 1 '

Substituindo x 2 na segunda equação:

x 2 ' = - 2 x 1

1 2 x 1 ' ' = - 2 x 1

1 2 x 1 ' ' = - 2 x 1

1 2 x 1 ' ' + 2 x 1 = 0

Se x 1 = e c t ,

x 1 ' = c e c t

x 1 ' ' = c 2 e c t

Então, nossa equação fica:

1 2 c 2 e c t + 2 e c t = 0

e c t 1 2 c 2 + 2 = 0

1 2 c 2 + 2 = 0

c 2 + 4 = 0

c = 2 i   e   c = - 2 i

Então a solução para x 1 é:

x 1 = C 1 e 2 i t + C 2 e - 2 i t

Em que C 1 e C 2 são duas constantes quaisquer.

Agora que encontramos x 1 podemos usá-lo para obter x 2 :

x 2 = 1 2 x 1 '

x 2 = 1 2 ( C 1 e 2 i t + C 2 e - 2 i t ) '

x 2 = 1 2 ( 2 i C 1 e 2 i t - 2 i C 2 e - 2 i t )

x 2 = i C 1 e 2 i t - i C 2 e - 2 i t

Passo 2

Vamos agora para o item (b). Ele nos pede para encontrar as funções x 1 ( t ) e x 2 ( t ) que também atendem aos valores de condição inicial x 1 0 = 3 , x 2 0 = 4 .

Como vimos no item (a) a função x 1 que é solução do problema é:

x 1 = C 1 e 2 i t + C 2 e - 2 i t

Para t = 0 :

x 1 0 = 3 = C 1 e 0 + C 2 e 0

3 = C 1 + C 2

Analogamente, encontramos a solução para x 2 :

x 2 = i C 1 e 2 i t - i C 2 e - 2 i t

Para t = 0 :

x 2 0 = 4 = i C 1 e 0 - i C 2 e 0

4 = i C 1 - i C 2

Ficamos então com o seguinte sistema:

3 = C 1 + C 2 4 = i C 1 - i C 2

3 = C 1 + C 2 4 i = - C 1 + C 2

Então:

3 + 4 i = 2 C 2 → C 2 = 3 2 + 2 i

C 1 = 3 - C 2 → C 1 = 3 2 - 2 i

Substituindo as cosntantes C 1 e C 2 nas funções solução:

x 1 = 3 2 - 2 i e 2 i t + 3 2 + 2 i e - 2 i t

x 2 = 2 + 3 2 i e 2 i t + 2 - 3 2 i e - 2 i t

Passo 3

Nosso último passo é desenhar as curvas x 1 e x 2 que encontramos no item (b).

Mas antes vamos escrevê-las como:

e c i t = cos ⁡ c t + i sen ⁡ c t

Então:

x 1 = 3 2 - 2 i cos ⁡ 2 t + i sen ⁡ 2 t + 3 2 + 2 i ( cos ⁡ - 2 t + i sen ⁡ - 2 t )

x 1 = 3 2 - 2 i cos ⁡ 2 t + i sen ⁡ 2 t + 3 2 + 2 i ( cos ⁡ 2 t - i sen ⁡ 2 t )

x 1 = 3 2 cos ⁡ 2 t + 2 sen ⁡ 2 t + 3 2 cos ⁡ 2 t + 2 sen ⁡ 2 t

x 1 = 3 cos ⁡ 2 t + 4 sen ⁡ 2 t

E

x 2 = 2 + 3 2 i cos ⁡ 2 t + i sen ⁡ 2 t + 2 - 3 2 i ( cos ⁡ - 2 t + i sen ⁡ - 2 t )

x 2 = 2 + 3 2 i cos ⁡ 2 t + i sen ⁡ 2 t + 2 - 3 2 i ( cos ⁡ 2 t - i sen ⁡ 2 t )

x 2 = 2 cos ⁡ 2 t - 3 2 sen ⁡ 2 t + 2 cos ⁡ 2 t - 3 2 sen ⁡ 2 t  

x 2 = 4 cos ⁡ 2 t - 3 sen ⁡ 2 t

Elas são esboçadas a seguir:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

(a) Transforme o sistema dado em uma única equação de segunda ordem. x 1 ' = - 0,5 x 1 + 2 x 2 ; x 2 ' = - 2 x 1 - 0,5 x 2 (b) Encontre a solução do sistema dado que também satisfaz as condições inici
(a) Transforme o sistema dado em uma única equação de segunda ordem. x 1 ' = x 1 - 2 x 2 ; x 2 ' = 3 x 1 - 4 x 2 (b) Encontre a solução do sistema dado que também satisfaz as condições iniciais x 1 0
Mostre que, se a 11 , a 12 , a 21 e a 22 forem constantes, com a 12 e a 21 sem serem nulos ao mesmo tempo, e, se as funções g 1 e g 2 forem diferenciáveis, então o problema de valor inicial x 1 ' = a
Considere o sistema linear homogêneo x ' = p 11 t x + p 12 t y ; y ' = p 21 t x + p 22 ( t ) y Mostre que, se x = x 1 t , y = y 1 t e x = x 2 t , y = y 2 t forem duas soluções do sistema dado, então x