Constante de EulerGráficos como aqueles na figura 10.11 sugerem que, conforme n aumenta, existe uma pequena alteração na diferença entre a soma 1 + 1 2 + … + 1 n E a integral ln ⁡ n = ∫ 1 n 1 x d x Para explorar essa ideia, siga os passos a seguir.Tomando f(x)=1/x na prova do teorema 9, mostre que ln ⁡ ( n + 1 ) ≤ 1 + 1 2 + … + 1 n ≤ 1 + ln ⁡ n Ou 0ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ n ≤ 1 + 1 2 + … + 1 n - ln ⁡ n ≤ 1 . Portanto, a sequência a n = 1 + 1 2 + … + 1 n - ln ⁡ n É limitada inferior e superiormente.Mostre que 1 n + 1∫ n n + 1 1 x d x = ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ n E use esse resultado para mostrar que a sequência a n no item (a) é decrescente.Como uma sequência decrescente limitada inferiormente converge, os números a n definidos no item (a) convergem: 1 + 1 2 + … + 1 n - ln ⁡ n → γ O número γ , cujo valor é 0,5772..., é chamado de constante de Euler.

Enunciado

Gente, bora que bora, essa é um pouco confusa, mas preciso que vocês retomem a figura falada no enunciado.

Retomou? Então vem comigo!

Da figura retiramos que as áreas dos retângulos no eixo x são definidas de 1 até n+1 pois o final é sempre a direita no eixo.

Vamos montar a integral:

Então

Portanto, a sequência é limitado superiormente por 1 e inferiormente por 0

Somando a sequência, , duas vezes na inequação

Chamando de , então:

Dessa maneira, é uma sequência decrescente de termos não negativos.

Demonstração