Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.3 - Ex. 57

Constante de EulerGráficos como aqueles na figura 10.11 sugerem que, conforme n aumenta, existe uma pequena alteração na diferença entre a soma

1 + 1 2 + … + 1 n

E a integral

ln ⁡ n = ∫ 1 n 1 x d x

Para explorar essa ideia, siga os passos a seguir.

  1. Tomando f(x)=1/x na prova do teorema 9, mostre que

    2. ln ⁡ ( n + 1 ) ≤ 1 + 1 2 + … + 1 n ≤ 1 + ln ⁡ n

    Ou

    0 < ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ n ≤ 1 + 1 2 + … + 1 n - ln ⁡ n ≤ 1 .

    Portanto, a sequência

    a n = 1 + 1 2 + … + 1 n - ln ⁡ n

    É limitada inferior e superiormente.

  2. Mostre que

1 n + 1 < ∫ n n + 1 1 x d x = ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ n

E use esse resultado para mostrar que a sequência a n no item (a) é decrescente.

Como uma sequência decrescente limitada inferiormente converge, os números a n definidos no item (a) convergem:

1 + 1 2 + … + 1 n - ln ⁡ n → γ

O número γ , cujo valor é 0,5772..., é chamado de constante de Euler.

Passo 1

  1. Gente, bora que bora, essa é um pouco confusa, mas preciso que vocês retomem a figura falada no enunciado.

    2. Retomou? Então vem comigo!

    Da figura retiramos que as áreas dos retângulos no eixo x são definidas de 1 até n+1 pois o final é sempre a direita no eixo.

    Vamos montar a integral:

    ∫ 1 n + 1 1 x d x ≤ 1 + 1 2 + … + 1 n ≤ 1 + ∫ 1 n 1 x d x

    ln ⁡ ( n + 1 ) ≤ 1 + 1 2 + … + 1 n ≤ 1 + ln ⁡ n

    0 ≤ ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ n

    1 + 1 2 + … + 1 n - ln ⁡ n ≤ 1

    Então

    0 ≤ ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ n ≤ 1 + 1 2 + … + 1 n - ln ⁡ n ≤ 1

    Portanto, a sequência 1 + 1 2 + … + 1 n - ln ⁡ n é limitado superiormente por 1 e inferiormente por 0

    Passo 2

  2. Agora devemos retomar a figura b da 10.11 com f x = 1 x ,   1 n + 1 < ∫ n n + 1 1 x d x = ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ n .

1 n + 1 - ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ n < 0

Somando a sequência, 1 + 1 2 + … + 1 n , duas vezes na inequação

1 + 1 2 + … + 1 n + 1 n + 1 - ln ⁡ n + 1 - 1 + 1 2 + … + 1 n - ln ⁡ n < 0

Chamando 1 + 1 2 + … + 1 n - ln ⁡ n de a n , então:

a n + 1 - a n < 0

a n + 1 < a n

Dessa maneira, a n é uma sequência decrescente de termos não negativos.

Resposta

Demonstração

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a série é convergente ou divergente.24- ∑ n = 3 ∞ 1 n ln ⁡ n l n ⁡ ( ln ⁡ n )
Determine se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ l n l nn n 2
31. (a) Use a soma dos dez primeiros termos para estimar a soma da série ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . Quão boa é essa estimativa?(b) Melhore essa estimativa usando ( 3 ) com n = 10 .(c) Encontre um valor de n qu
Encontre todos os valores de c para os quais a seguinte série converge: ∑ n = 3 ∞ c n - 1 n + 1
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1 3