Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.3 - Ex. 31b
31. (a) Use a soma dos dez primeiros termos para estimar a soma da série . Quão boa é essa estimativa?
(b) Melhore essa estimativa usando com .
(c) Encontre um valor de n que garanta que o erro na aproximação s sn seja menor que 0,001.
Passo 1
E aí, explorador matemático! Pronto para mergulhar de cabeça nessa questão desafiadora? Vamos lá!
Para resolver este problema, utilizaremos o Teorema 3, presente na página 725 do livro, que nos diz que a soma dos termos de uma série está compreendida entre dois limites, como mostrado na seguinte desigualdade:
Aqui, sn representa a soma dos primeiros termos da série.
Sabemos, pela letra “a” do exercício, que a soma dos dez primeiros termos s10 é igual a:
Passo 2
Agora, para encontrar o valor de , vamos calcular a integral da função de até o infinito e de até o infinito, onde no nosso caso.
Então, teremos:
Agora, calculando a integral indefinida de , obtemos:
Aplicando os limites da integral em
obtemos:
Organizando os sinais dessa desigualdade, ficaremos com:
No contexto de limites, quando se aproxima do infinito, se aproxima de zero.
Então = 0.
Substituindo os valores na nossa desigualdade e aplicando o conceito acima, teremos:
Logo:
Finalmente:
Passo 3
Para encontramos o valor de teremos que calcular a média aritmética dos dois valores encontrados na desigualdade:
Portanto o erro será a diferença entre o maior valor da nossa desigualdade e o valor de que acabamos de calcular:
Arredondando o erro para cima, temos: