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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.6 - Ex. 51

O custo, em dólares, para um empresa manufaturar e distribuir uma mochila é c . Se as mochilas são vendidas a x dólares cada uma, o número de unidades vendidas é dada por

n = a x - c + b 100 - x

Onde a e b são constantes positivas. Qual preço de venda trará lucro máximo?

Passo 1

Vamos escrever a função lucro primeiro.

Temos que o custo vai ser o número de mochilas que é vendido vezes c

C x = n c

Enquanto isso, a receita vai ser o número de mochilas que é vendido vezes o preço x

R x = n x

O lucro vai ser:

L x = R x - C x

Entao:

L x = n x - n c

Colocando o n em evidência:

L x = n x - c

Substituindo o valor de n que ele deu:

L x = a x - c + b 100 - x x - c

Fazendo a distributiva

L x = a + b 100 - x x - c

L x = a + b 100 x - 100 c - x 2 + x c

L x = a + 100 b x - 100 b c - b x 2 + b c x

Como essa é uma função de 2 º grau, bastsa olharmos o ponto critico, ele vai ser efetivamente o lucro máximo, não precisamos do teste da segunda derivada

Passo 2

Vamos achar os pontos críticos:

L ' = 0

Vamos derivar e achar:

L ' = 100 b - 2 b x + b c

Fazendo isso igual a 0

100 b - 2 b x + b c = 0

2 b x = 100 b + b c

x = 100 b + b c 2 b

Simplificando o b

x = 50 + c 2

Resposta

x = 50 + c 2

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