Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 85

a. Encontre o intervalo de convergência da série

y = 1 + 1 6 x 3 + 1 180 x 6 + … + 1 ∙ 4 ∙ 7 ∙ … ∙ 3 n - 2 3 n ! x 3 n + …

b. Mostre que a função definida pela série satisfaz a equação diferencial da forma

d ² y d x ² = x a y + b

e encontre os valores das constantes a e b.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

(a)

Seja a série,

y = 1 + 1 6 x 3 + 1 180 x 6 + … + 1 ∙ 4 ∙ 7 ∙ … ∙ 3 n - 2 3 n ! x 3 n + …

Ela pode ser escrita como,

∑ n = 1 ∞ 1 ∙ 4 ∙ 7 ∙ … ∙ 3 n - 2 3 n ! x 3 n  

Então seja,

∑ n = 1 ∞ u n = ∑ n = 1 ∞ 1 ∙ 4 ∙ 7 ∙ … ∙ 3 n - 2 3 n ! x 3 n  

Vamos aplicar o teste da razão para série ∑ n = 1 ∞ u n , assim, temos que:

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = lim n → ∞ ⁡ 1 ∙ 4 ∙ … ∙ 3 n - 2 ( 3 n + 1 ) x 3 n + 3 3 n + 3 ! ∙ 3 n ! 1 ∙ 4 ∙ … ∙ 3 n - 2 x 3 n

Eliminando os termos comuns,

lim n → ∞ ⁡ 3 n + 1 x 3 3 n ! 3 n + 3 ( 3 n + 2 ) ( 3 n + 1 ) ( 3 n ) !   = lim n → ∞ ⁡ x 3 3 n + 3 ( 3 n + 2 ) =  

x 3 lim n → ∞ ⁡ 1 3 n + 3 3 n + 2   = x 3 ∙ 0 = 0 < 1         ,   p a r a   t o d o   x .  

Assim a série converge absolutamente para todo x. Sabemos que toda série absolutamente convergente é convergente. Assim, o raio de convergência é ∞ .

Passo 2

(b)

A função definida pela série é:

y = 1 + ∑ n = 1 ∞ 1 ∙ 4 ∙ 7 ∙ … ∙ 3 n - 2 3 n ! x 3 n  

Derivando ambos os lados em relação a x, temos:

d y d x = ∑ n = 1 ∞ 1 ∙ 4 ∙ 7 ∙ … ∙ 3 n - 2 3 n ! ( 3 n ) x 3 n - 1   = ∑ n = 1 ∞ 1 ∙ 4 ∙ 7 ∙ … ∙ 3 n - 2 3 n - 1 ! x 3 n - 1  

Derivando novamente, têm-se:

d 2 y d x ² = ∑ n = 1 ∞ 1 ∙ 4 ∙ 7 ∙ … ∙ 3 n - 2 3 n - 1 ! ( 3 n - 1 ) x 3 n - 2   = ∑ n = 1 ∞ 1 ∙ 4 ∙ 7 ∙ … ∙ 3 n - 2 3 n - 2 ! x 3 n - 2  

Reindexando esse somatório, temos:

d 2 y d x ² = x + ∑ n = 2 ∞ 1 ∙ 4 ∙ 7 ∙ … ∙ 3 n - 5 3 n - 3 ! x 3 n - 2   =   x   1 + ∑ n = 1 ∞ 1 ∙ 4 ∙ 7 ∙ … ∙ 3 n - 2 3 n ! x 3 n  

Assim, temos:

d 2 y d x ² = x   1 + ∑ n = 1 ∞ 1 ∙ 4 ∙ 7 ∙ … ∙ 3 n - 2 3 n ! x 3 n   = x y

Igualando as expressões, d ² y d x ² = x a y + b e d 2 y d x ² = x y temos:

x a y + b = x y

Implicando que a = 1   e   b = 0 .

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

(a) raio de convergência: ∞ . (b) a = 1   e   b = 0 .

Exercícios de Livros Relacionados

Quais das séries nos Exercícios 55-62 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. ∑ n = 1 ∞ n n 2 ( n 2 )
Seja a_n = {[[(n)/(2^n) , s e n é u m n ú m e r o p r i m o],[(1)/(2^n) , c a s o c o n t r á r i o]]) é ú á sum a_n converge? Justifique sua resposta.
Quais das séries nos Exercícios 55-62 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. ∑ n = 1 ∞ 1 ∙ 3 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 ) [ 2 ∙ 4 ∙ … ∙ 2 n ] ( 3 n + 1 )
Mostre que ∑ n = 1 ∞ 2 n 2 n ! diverge. Lembre-se das leis dos expoentes que 2 ( n 2 ) = 2 n n .
Quais das séries nos Exercícios 55-62 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. ∑ n = 1 ∞ 1 ∙ 3 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 ) 4 n 2 n n !