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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 43

Nos Exercícios 41-50, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Em seguida, identifique os valores de x para os quais a série converge (b) absolutamente e (c) condicionalmente

43. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 3 x - 1 n   n 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - Vamos considerar que ∑ n = 1 ∞ u n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 3 x - 1 n   n 2 . Aplicando o teste da razão para a série ∑ n = 1 ∞ | u n | , onde u n é o n-ésimo termo da série dada, agora, nós temos que

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n 3 x - 1 n + 1 n + 1 2 n 2 - 1 n - 1 3 x - 1 n

Desenvolvendo os termos

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = lim n → ∞ ⁡ - 1 3 x - 1 n 2 n + 1 2 = 3 x - 1 lim n → ∞ ⁡ n 2 n + 1 2 = 3 x - 1 lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n 2

O limite lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n 2 é igual a 1, com isso

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = 3 x - 1

Passo 2

Do teste da Razão, obtemos que a série converge absolutamente se x satisfaz 3 x - 1 < 1 , o que significa

- 1 < 3 x - 1 < 1 → - 1 + 1 < 3 x < 1 + 1

Com isso, nós temos que

0 < 3 x < 2 → 0 < x < 2 3

Sabemos que toda série absolutamente convergente é convergente. Assim, o raio de convergência é 1/3​. Agora temos que testar a convergência ou divergência em cada ponto final, ou seja, 0 e 2/3​.

Passo 3

B – Considerando x = 0 , portanto, nós temos que

∑ n = 1 ∞ u n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 3 ∙ 0 - 1 n   n 2

Desenvolvendo os termos

∑ n = 1 ∞ u n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 - 1 n n 2 = ∑ n = 1 ∞ - 1 2 n - 1 n 2

Com isso, nós temos que

∑ n = 1 ∞ u n = - ∑ n = 1 ∞ 1 n 2

O que é uma p-série com p = 2 > 1 , com isso, ela é convergente. Portanto a série converge absolutamente no intervalo 0 ≤ x ≤ 2 / 3 .

Passo 4

C – Considerando x = 2 3 , nós obtemos que

∑ n = 1 ∞ u n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 3 ∙ 2 3 - 1 n   n 2

Desenvolvendo os termos

∑ n = 1 ∞ u n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 1 n n 2 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n 2

Com isso, nós temos que também é uma série absolutamente convergente e, portanto, convergente.

Resposta

a )   O   r a i o   d e   c o n v e r g ê n c i a   é 1 3 e   o   i n t e r v a l o   d e   c o n v e r g ê n c i a   é   0 < x ≤ 2 / 3

b )   O   i n t e r v a l o   d e   x   e m   q u e   a   s é r i e   c o n v e r g e   a b s o l u t a m e n t e   é   0 ≤ x ≤ 2 / 3

c )   N ã o   h á   v a l o r   d e   x   p a r a   o   q u a l   a   s é r i e   c o n v e r g e   c o n d i c i o n a l m e n t e .

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