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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 82

Encontre o raio de convergência da série

sum_(n = 1)^(oo) (3 * 5 * 7 * ... * (2 n + 1))/(4 * 9 * 14 * ... * (5 n - 1)) (x - 1)^n

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Seja a série,

sum_(n = 1)^(oo) u_n = sum_(n = 1)^(oo) (3 * 5 * 7 * ... * (2 n + 1))/(4 * 9 * 14 * ... * (5 n - 1)) (x - 1)^n

Vamos aplicar o teste da razão para série sum_(n = 1)^(oo) |u_n| , assim, temos que:

underset(n -> oo)(lim) |(u_n + 1)/(u_n)| = underset(n -> oo)(lim) |(3 * 5 * ... * (2 n + 1) ( 2 n + 3 ) (x - 1)^(n + 1))/(4 * 9 * ... * (5 n - 1) ( 5 n + 4 )) * (4 * 9 * ... * (5 n - 1))/(3 * 5 * ... * (2 n + 1) (x - 1)^n)|

Eliminando os termos comuns,

underset(n -> oo)(lim) |(( 2 n + 3 ) ( x - 1 ))/(( 5 n + 4 ))| = |x - 1| underset(n -> oo)(lim) ((2 n + 3)/(5 n + 4)) = |x - 1| * (2)/(5) = (2)/(5) |x - 1|

Sendo assim, a série converge absolutamente para (2)/(5) |x - 1| < 1 ⟹ |x - 1| < (5)/(2) . Logo, o raio de convergência da série é (5)/(2) .

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

O raio de convergência da série é (5)/(2) .

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