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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Questões para guiar sua revisão - Ex. 30

Como é possível utilizar eventualmente séries de potências para estimar os valores de integrais definidas não elementares?

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Suponhamos que ∑ d n ( x - a ) n tem raio de convergência R   >   0 , isso define a função f x = ∑ n = 0 ∞ d n ( x - a ) n   no intervalo a - R < x < a + R .

Então podemos integrar a série de potências termo a termo ao longo de seu intervalo de convergência.

∫ f x d x = ∑ n = 0 ∞ d n x - a n + 1 n + 1

que converge para a - R < x < a + R .

Exemplo – Sabemos que a série de s e n   x 2 é:

s e n   x 2 = x 2 - x 6 3 ! + x 10 5 ! - x 14 7 ! + …

Por integração, temos:

∫ 0 1 s e n   x 2 d x = ∫ 0 1 x 2 - x 6 3 ! + x 10 5 ! - x 14 7 ! + … d x =  

x 3 3 - x 7 7 ∙ 3 ! + x 11 11 ∙ 5 ! - … + x 4 n - 1 4 n - 1 ∙ 2 n - 1 ! 0 1 = 1 3 - 1 7 ∙ 3 ! + 1 11 ∙ 5 ! - 1 1 5 ∙ 7 ! + …

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a explicação acima.

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