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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 6a

Com uma conveniente mudança de variável, transforme a integral dada numa do tipo ∫ m u + n 1 + u 2 d u ( m e n constantes) e calcule.

∫ x + 1 4 + x 2 d x

Passo 1

Note que:

x + 1 4 + x 2 = x 4 + 1 4 4 4 + x 2 4 = 1 4 ∙ x + 1 1 + x 2 2

Então, podemos fazer a seguinte mudança de variável:

u = x 2

x = 2 u

d x = 2   d u

Passo 2

A integral vai ficar assim:

∫ x + 1 4 + x 2 d x = ∫ 1 4 ∙ x + 1 1 + x 2 2 d x = ∫ 1 4 ∙ 2 u + 1 1 + u 2 2   d u = 1 2 ∫ 2 u + 1 1 + u 2 d u

Passo 3

De acordo com o Exercício 5, uma integral do tipo ∫ m u + n 1 + u 2 d u é resolvida assim:

∫ m u + n 1 + u 2 d u = m 2 ln ⁡ 1 + u 2 + n arctg ⁡ u + k

Logo,

∫ x + 1 4 + x 2 d x = 1 2 ∫ 2 u + 1 1 + u 2 d u = 1 2 2 2 ln ⁡ 1 + u 2 + 1 arctg ⁡ u + k = 1 2 ln ⁡ 1 + u 2 + 1 2 arctg ⁡ u + k = 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 4 + 1 2 arctg ⁡ x 2 + k

Resposta

∫ x + 1 4 + x 2 d x = 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 4 + 1 2 arctg ⁡ x 2 + k

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