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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 4h

Calcule

int sqrt(1 + sqrt(x)) d x

Passo 1

Aqui vamos tentar a seguinte substituição:

u = 1 + sqrt(x)

d u = (1)/(2 sqrt(x)) d x = (1)/(2 ( u - 1 )) d x

d x = 2 (u - 1) d u

Então:

int sqrt(1 + sqrt(x)) d x = int sqrt(u) (2 (u - 1) d u) = int (2 u^((3)/(2)) - 2 u^((1)/(2))) d u

Passo 2

Agora ficou mais fácil de resolver a integral:

int (2 u^((3)/(2)) - 2 u^((1)/(2))) d u = 2 * (2)/(5) u^((5)/(2)) - 2 * (2)/(3) u^((3)/(2)) + k

Ou seja,

int sqrt(1 + sqrt(x)) d x = (4)/(5) (1 + sqrt(x))^((5)/(2)) - (4)/(3) (1 + sqrt(x))^((3)/(2)) + k

Resposta

int sqrt(1 + sqrt(x)) d x = (4)/(5) (1 + sqrt(x))^((5)/(2)) - (4)/(3) (1 + sqrt(x))^((3)/(2)) + k

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