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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.1 - Ex. 120

Teoria e exemplos: Quais das sequências nos Exercícios 115-124 convergem, e quais divergem? Justifique suas respostas.

120. O primeiro termo de uma sequência é x 1 = c o s   ( 1 ) . Os próximos termos são x 2 = x 1 ou c o s   ( 2 ) , o que for maior; e x 3 = x 2 ou c o s   ( 3 ) , o que for maior (mais à direita) . Em geral,

x n   +   1 = m a x   { x n , c o s ( n + 1 ) } .

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Que bom, vem comigo para mais uma resolução.

Bom, para saber se a sequência converge ou não, temos que testar se ela é limitada e monotônica. Para ser limitada, ela tem que ter um limitante superior e um inferior. Para ser monotônica, ela tem que ser crescente ou decrescente.

Antes de testar isso, vamos tentar entender como essa sequência é definida. Sempre que a gente for calcular o termo x n   +   1 , temos que calcular x n e c o s ( n + 1 ) e comparar para ver qual dos dois é maior. O maior deles vai ser justamente x n   +   1 . Esse procedimento é repetido para todos os termos da sequência.

O importante da gente notar é que sempre vamos ter um cosseno. Vamos supor que x n = c o s   ( n ) . Se x n > c o s ( n + 1 ) , escolhemos x n = c o s   ( n ) :

x n   +   1 = c o s   ( n )

Agora, se x n < c o s ( n + 1 ) , escolhemos c o s ( n + 1 ) :

x n   +   1 = c o s   ( n + 1 )

Ou seja, sempre vamos ter um cosseno, que pode ser do mesmo n ou de um n menor.

Passo 2

Com base no que a gente acabou de discutir, e lembrando que

- 1 ≤ c o s   x ≤ 1

para qualquer valor de x , então, podemos concluir que qualquer termo da sequência está entre - 1 e 1 :

- 1 ≤ x n ≤ 1

Ou seja, a sequência é limitada.

Passo 3

Beleza, agora vamos tentar descobrir se a sequência é monotônica. Vamos supor que x n = c o s   ( n ) , para algum n . Se x n > c o s ( n + 1 ) , então

x n   +   1 = c o s   ( n ) = x n

Se x n < c o s ( n + 1 ) , escolhemos c o s ( n + 1 ) :

x n   +   1 = c o s   ( n + 1 ) > x n

Então, sempre vamos ter duas situações: x n   +   1 = x n ou x n   +   1 > x n . Em ambos os casos, a gente pode simplesmente escrever x n   +   1 ≥ x n . Estritamente falando, não podemos dizer que essa sequência é crescente, mas sim que ela é não-decrescente. Mesmo assim, ela é monotônica.

Sendo limitada e monotônica, essa sequência converge. Bom, é só isso por enquanto. Até a próxima!

Resposta

Converge.

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