Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.1 - Ex. 47
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
E aê, pessoal! Vamos resolver essa questãozinha:
Pra gente saber se uma sequência converge ou diverge, a gente precisa tentar achar o limite dela.
Nossa sequência tem um comportamento difícil de prever somente olhando para seus termos mas, analisando bem, ela se parece bastante com um limite fundamental, ou seja, um limite cujo resultado já sabemos.
Nossa estratégia aqui será manipular nossa sequência até ela assumir o mesmo formato desse limite fundamental exponencial:
Passo 2
Começando então a manipular nossa sequência:
Vamos multiplicar nosso expoente por , dessa forma teremos 2 termos que podemos escrever em função de x:
Perceba que se fizermos , teremos:
Agora podemos aplicar o limite fundamental. Como causa , ficamos com:
Passo 3
Pronto, agora temos o limite que precisamos calcular. Colocando o expoente 2 em evidência, temos:
Pela propriedade de limites , temos:
Beleza! A sequência vai convergir para .
Resposta
Sequência convergente: