Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.1 - Ex. 34
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
Beleza, pessoal? Vamos nesse primeiro passo analisar a estratégia que vamos tomar para resolver essa questão.
Bem, como sabemos: pra gente saber se uma sequência converge ou diverge, a gente precisa tentar achar o limite dela. Porém, olhando “de cara” temos uma sequência com muitos termos, de modo que é difícil entender de antemão seu comportamento e para onde vão seus valores.
Sendo assim, vamos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador pela maior potência do denominador, ou seja, por . Isso será útil pois também simplificará muito o numerador, como você verá no passo 2.
Outra abordagem que também usaremos é a de calcular o módulo do limite, já que o sinal da sequência alterna de termo em termo através do .
Passo 2
Aplicando o módulo, tomamos somente os valores positivos da sequência:
Agora aplicamos a simplificação detalhada no passo 1:
Passo 3
Agora podemos de fato analisar o limite.
Como as frações do denominador vão se aproximar cada vez mais de 0 com , teremos:
Porém, nossa sequência assume também valores negativos e não somente positivos. Sendo assim, a sequência alterna entre 1 e -1, ou seja, dois valores diferentes ao invés de somente 1. Portante, o limite da sequência não existe.
Ou seja, não importa o quanto cresça, sempre ainda vai assumir os valores e . Então a nossa sequência diverge, tá beleza?
Resposta
Sequência divergente.