É convergente ou divergente? Justifique.

∫ 1 ∞ x 2 + 1 x 3 + 1   d x

Passo 1

Devemos verificar se essa integral imprópria diverge ou converge. Neste caso, achar uma primitiva é bem complicado, de modo que vamos recorrer aos critérios de comparação!

Note que,

x 2 + 1 x 3 + 1 = x 2 x 3 ⋅ 1 + 1 x 2 1 + 1 x 3

Para x ≥ 1 , temos que

x 3 ≥ x 2

Assim,

1 x 3 ≤ 1 x 2 ⇒ 1 + 1 x 3 ≤ 1 + 1 x 2 ⇒ 1 + 1 x 2 1 + 1 x 3 ≥ 1

Logo,

x 2 + 1 x 3 + 1 = 1 x ⋅ 1 + 1 x 2 1 + 1 x 3 ≥ 1 x

Passo 2

Agora, tentando calcular a integral

∫ 1 ∞ 1 x   d x

vemos que ela claramente diverge pois lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ t = + ∞ .

Passo 3

Por fim, como temos que

x 2 + 1 x 3 + 1 ≥ 1 x

E a integral

∫ 1 ∞ 1 x   d x

diverge, segue pelo critério da comparação que a integral

∫ 1 ∞ 1 x 5 + 3 x + 1   d x

também será divergente!

Resposta

Diverge.

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