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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.4 - Ex. 1b

É convergente ou divergente? Justifique.

int_1^(oo) (x^2 + 1)/(x^3 + 1) d x

Passo 1

Devemos verificar se essa integral imprópria diverge ou converge. Neste caso, achar uma primitiva é bem complicado, de modo que vamos recorrer aos critérios de comparação!

Note que,

(x^2 + 1)/(x^3 + 1) = (x^2)/(x^3) * (1 + (1)/(x^2))/(1 + (1)/(x^3))

Para x >= 1 , temos que

x^3 >= x^2

Assim,

(1)/(x^3) <= (1)/(x^2) => 1 + (1)/(x^3) <= 1 + (1)/(x^2) => (1 + (1)/(x^2))/(1 + (1)/(x^3)) >= 1

Logo,

(x^2 + 1)/(x^3 + 1) = (1)/(x) * (1 + (1)/(x^2))/(1 + (1)/(x^3)) >= (1)/(x)

Passo 2

Agora, tentando calcular a integral

int_1^(oo) (1)/(x) d x

vemos que ela claramente diverge pois underset(t -> oo)(lim) ln t = + oo .

Passo 3

Por fim, como temos que

(x^2 + 1)/(x^3 + 1) >= (1)/(x)

E a integral

int_1^(oo) (1)/(x) d x

diverge, segue pelo critério da comparação que a integral

int_1^(oo) (1)/(x^5 + 3 x + 1) d x

também será divergente!

Resposta

Diverge.

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Calcule as integrais que convirjam.int_(- oo)^(+ oo) x d x
Calcule as integrais que convirjam.int_0^(+ oo) (1)/(x^2) d x
Faça a substituição u e calcule a integral definida resultante. ∫ 0 + ∞ e - x x d x ; u = x [Nota: u → + ∞ quando x → + ∞ ]
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta. ∫ 1 + ∞ x - 4 / 3 converge a 3 .
Calcule as integrais que convirjam.int_1^(+ oo) (d x)/(x sqrt(x^2 - 1))