É convergente ou divergente? Justifique.

int_1^(oo) (e^((1)/(x)))/(x^2) d x

Passo 1

Devemos verificar se essa integral imprópria diverge ou converge. Neste caso, achar uma primitiva é bem complicado, de modo que vamos recorrer aos critérios de comparação!

Sabemos que se x >= 1 , temos que

(1)/(x) <= 1

Assim, segue que

1 <= e^((1)/(x)) <= e

Assim, como x^2 >= 1 , temos que

(e^((1)/(x)))/(x^2) <= (e)/(x^2)

Passo 2

Pelo teorema da página 70, temos que integrais do tipo

int_a^(oo) (1)/(x^(alpha)) d x

sempre convergem se alpha > 1 . Neste caso, temos alpha = 2 , de modo que a integral

int_1^(oo) (e)/(x^2) d x

é convergente.

Passo 3

Por fim, como temos que

(e^((1)/(x)))/(x^2) <= (e)/(x^2)

E a integral

int_1^(oo) (e)/(x^2) d x

converge, segue pelo critério da comparação que a integral

int_1^(oo) (e^((1)/(x)))/(x^2) d x

também será convergente!

Resposta

Converge.

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