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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.4 - Ex. 1g

É convergente ou divergente? Justifique.

int_4^(oo) (2 x - 3)/(x^3 - 3 x^2 + 1) d x

Passo 1

Devemos verificar se essa integral imprópria diverge ou converge. Neste caso, achar uma primitiva é bem complicado, de modo que vamos recorrer aos critérios de comparação!

Note que podemos escrever

(2 x - 3)/(x^3 - 3 x^2 + 1) = (8)/(x^2) * ((x)/(4) - (3)/(16))/(x - 3 + (1)/(x^2))

Vamos olhar para a função:

f (x) = ((x)/(4) - (3)/(16))/(x - 3 + (1)/(x^2))

Plotando f para x >= 4 :

Note que f (x) < 1 , de modo que

(2 x - 3)/(x^3 - 3 x^2 + 1) <= (8)/(x^2)

Passo 2

Pelo teorema da página 70, temos que integrais do tipo

int_a^(oo) (1)/(x^(alpha)) d x

sempre convergem se alpha > 1 . Neste caso, temos alpha = 2 , de modo que a integral

int_4^(oo) (8)/(x^2) d x

é convergente.

Passo 3

Por fim, como temos que

(2 x - 3)/(x^3 - 3 x^2 + 1) <= (8)/(x^2)

E a integral

int_4^(oo) (8)/(x^2) d x

converge, segue pelo critério da comparação que a integral

int_4^(oo) (2 x - 3)/(x^3 - 3 x^2 + 1) d x

será convergente!

Resposta

Converge.

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Calcule as integrais que convirjam.int_0^(+ oo) (d x)/(sqrt(x) (x + 1))
Faça a substituição u e calcule a integral definida resultante. ∫ 0 + ∞ e - x 1 - e - x d x ; u = 1 - e - x [Nota: u → 1 quando x → + ∞ ]
Calcule as integrais que convirjam. ∫ 12 + ∞ d x x x + 4 [Nota: u → + ∞ quando x → + ∞ ]
Faça a substituição u e calcule a integral definida resultante. ∫ 0 + ∞ e - x 1 - e - x d x ; u = e - x
Calculeint_0^1 (1)/(x) d x