Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.4 - Ex. 1m
É convergente ou divergente? Justifique.
Passo 1
Devemos verificar se essa integral imprópria diverge ou converge. Neste caso, achar uma primitiva é bem complicado, de modo que vamos recorrer aos critérios de comparação!
Neste caso, como o integrando é par, só precisamos nos preocupar com a integral de até infinito. Se ela convergir, então a integral de menos infinito até zero vai convergir também, de modo que a integral dada será convergente.
Portanto, olhemos para
Note que a primeira integral do lado direito será simplesmente um número. Como só estamos analisando a convergência, não precisamos perder tempo tentando calcular esse número...
Para :
Passo 2
Pelo teorema da página 70, temos que integrais do tipo
sempre convergem se . Neste caso, temos , de modo que a integral
é convergente.
Passo 3
Assim, a integral
também será convergente. Portanto, como
é um número finito e
converge, segue que
é convergente. Assim, temos que
converge!
Resposta
Converge.