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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 12.7 - Ex. 28

Converta de coordenadas esféricas para coordenadas cilíndricas.

2 ⋅ 2 , 3 ⋅ π 2 , π 2

Passo 1

Para resolver esse exercício, vamos estabelecer relações entre as coordenadas cilíndricas e as esféricas, utilizando as transformações para coordenadas retangulares.

Passo 2

Temos que para obter as coordenadas cilíndricas a partir das esféricas vamos precisar utilizar as coordenadas retangulares como intermediarias. Sabemos que das coordenadas cilíndricas para retangulares temos as seguintes relações:

x = r ⋅ cos ⁡ θ ,

y = r ⋅ sin ⁡ θ ,

z = z

E das coordenadas esféricas para retangulares, temos as relações

x = ρ ⋅ sin ⁡ ϕ ⋅ cos ⁡ θ ,

y = ρ ⋅ sin ⁡ ϕ ⋅ sin ⁡ θ ,

z = ρ ⋅ cos ⁡ ϕ

Podemos então igualar as equações uma vez que nas coordenadas retangulares terão os mesmos valores. Assim, chegamos que

θ = θ ,

r = ρ ⋅ sin ⁡ ϕ ,

z = ρ ⋅ cos ⁡ ϕ

Note que não precisamos estabelecer uma relação para θ pois o dado em coordenadas cilíndricas será o mesmo para coordenadas esféricas.

Assim, sabendo que os pontos em coordenadas cilíndricas são dados da forma ( ρ , θ , ϕ ) e que as coordenadas esféricas são dadas da forma r , θ , z , assim temos que:

θ = - 9 0 º

r = 2 ⋅ 2 ⋅ sin ⁡ π 2 = 2 ⋅ 2

z = 2 ⋅ 2 ⋅ cos ⁡ π 2 = 0

Resposta

r = 2 ⋅ 2

θ = - 9 0 º

z = 0

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