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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 12

Teste a convergência ou divergência das séries.

12-

∑ n = 1 ∞ - 1 n n n 2 + 25

Passo 1

Vamos fazer pelo teste da série alternada.

Começando pela derivada.

d d x x x 2 + 25

Pela regra do quociente temos:

d d x a n = x ' × x 2 + 25 - x × ( x 2 + 25 ) ' x 2 + 25 2 = x 2 + 25 - 2 x 2 x 2 + 25 2 = - x 2 + 25 x 2 + 25 2

Essa derivada será negativa em:

- x 2 + 25 < 0

25 < x 2 → x > ± 5

Isso é para x > 5 a sequência será toda decrescente, o que faz passar no teste. Para infinito essa função é decrescente tirando o estrago causado com x entre 0 e 5

Passo 2

Agora realizando o teste da divergência:

lim n → ∞ ⁡ n n 2 + 25

Dividindo numerador e denominador por n teremos:

lim n → ∞ ⁡ 1 n 1 + 25 n 2 = 0

Como passou nos dois testes então a série alternada é convergente.

Resposta

Pelo teste da série alternada a série é convergente.

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