Uma corda é amarrada a um peso e passa por um gancho que está a 8   m acima do chão. A corda é puxada passando pelo gancho, a uma velocidade de 3 4   m / s e arrasta o peso pelo chão. Se o comprimento da corda entre o peso e o gancho for de x   m quando a medida em radianos do ângulo entre a corda e o chão for θ , ache a variação de θ em relação ao tempo, em termos de x .

Passo 1

Um esquema para ilustrar o problema é mostrado a seguir:

Temos que x é o comprimento da corda que liga o peso ao gancho e θ é o ângulo que a corda faz com o chão. Como a velocidade com que a corda é puxada é 3 4   m / s , temos que x = - 3 / 4 . O sinal negativo vem do fato de x diminuir conforme a corda é puxada.

A relação geométrica que devemos escrever é

s e n   θ = 8 x ⇒ θ = a r c s e n 8 x

Passo 2

Derivando essa relação, temos que

θ ' = 1 1 - 8 x 2 ⋅ 8 x ' = x x 2 - 64 ⋅ - 8 x 2 ⋅ x '

Assim,

θ ' = - 8 x ' x x 2 - 64

Como x ' = - 3 / 4 , temos que

θ ' = 6 x x 2 - 64

Essa é a relação que o enunciado queria que chegássemos: θ ' como função de x .

Resposta

θ ' = 6 x x 2 - 64

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