Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 5
Se um dos lados de um campo retangular for um rio, ache as dimensões do maior campo retangular que pode ser fechado usando 240 m de cerca para os outros três lados.
Passo 1
Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:
- Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
- Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a e os valores onde ela não existe.
- A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.
Passo 2
Vamos lá, começando definindo a equação que associa as variáveis do problema. Se temos um campo retangular de comprimento e largura , teremos sua área dada por:
Mas temos duas variáveis nessa equação, então precisamos de outra para simplificar essa equação. O problema diz que usaremos 240 de cerca para fechar 3 dos lados. Ou seja o perímetro de lados desse retângulo totaliza :
Agora isolando o nessa função:
Agora podemos jogar isso lá na equação da área e ficar apenas com uma variável na função da área!
Passo 3
Derivando a equação que temos:
Igualando-a a zero:
Encontramos o nosso valor de ! Agora vamos ao valor de .
Passo 4
Substituindo o valor que encontramos para na 2ª equação:
Temos que:
Essas serão as dimensões do campo retangular!
Resposta
por .