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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.21 - Ex. 10

10. y = - 2 cos (x)/(2) ; n = 5

Passo 1

Primeiro, a ordem de uma derivada é o número de vezes que uma equação será derivada.

Passo 2

Temos uma derivada do produto com função composta.

Derivada do produto

y = u * v ⟹ y^' = u^' v + u v^'

Regra da cadeia, que é a derivada da de fora aplicada na de detro vezes a derivada da de dentro.

y^' = f ' (g (x)) * g ' (x)

Passo 3

Para

y = - 2 cos (x)/(2)

Analisamos como uma derivada da multiplicação contendo uma regra da cadeia

Passo 4

Realizando a primeira derivada

y^' = u^' v + u v '

Temos

u = - 2 e v = cos (x)/(2)

Para u

u = 2

u^' = 0

Para v ' , utilizaremos a regra da cadeia

v = cos (x)/(2)

v^' = - sen (x)/(2) * (1)/(2)

Passo 5

Agora vamos aplicar na fórmula y ' da multiplicação

y^' = 0 * cos (x)/(2) + (- 2) (- sen (x)/(2) * (1)/(2))

Realizando as multiplicações

y^' = 2 sen (x)/(2) * (1)/(2)

y^' = sen (x)/(2)

Passo 6

Realizando a segunda derivada da regra da cadeia

y^' = f ' (g (x)) * g ' (x)

Temos

f = sen (x)/(2) e g = (x)/(2)

Para u

u = sen (x)/(2)

u^' = cos (x)/(2)

Para v ' , utilizaremos a derivada do produto

g = (a)/(b)

g ' = (a^' b - a b^')/(b^2)

Temos que a = x e b = 2

Vamos fazer por partes

Primeiro vamos calcular a '

a = x

a^' = 1

Segundo v '

b = 2

b^' = 0

Terceiro v^2

b = 2

b^2 = 4

Aplicando em g^'

g ' = (1 * 2 - 1 * 0)/(4)

g^' = (2)/(4) = (1)/(2)

Passo 7

Agora vamos aplicar na fórmula y ' da multiplicação

y^(( 2 )) = cos (x)/(2) * (1)/(2)

Passo 8

Realizando a terceira derivada

y^' = u^' v + u v '

Temos

u = cos (x)/(2) e v = (1)/(2)

Para u^' , tilizaremos a regra da cadeia

u = cos (x)/(2)

u^' = - sen (x)/(2) * (1)/(2)

Para v ' , utilizaremos a regra da cadeia

v = (1)/(2)

v^' = 0

Passo 9

Agora vamos aplicar na fórmula y ' da multiplicação

y^(( 3 )) = - sen (x)/(2) * (1)/(2) * (1)/(2) + cos (x)/(2) * 0

y^(( 3 )) = - sen (x)/(2) * (1)/(4)

Passo 10

Realizando a quarta derivada

y^' = u^' v + u v '

Temos

u = - sen (x)/(2) e v = (1)/(4)

Para u^' , tilizaremos a regra da cadeia

u = - sen (x)/(2)

u^' = - co s (x)/(2) * (1)/(2)

Para v ' , utilizaremos a regra da cadeia

v = (1)/(4)

v^' = 0

Passo 11

Agora vamos aplicar na fórmula y ' da multiplicação

y^(( 4 )) = - cos (x)/(2) * (1)/(2) * (1)/(4) + (- s en (x)/(2) * 0)

y^(( 4 )) = - cos (x)/(2) * (1)/(8)

Passo 12

Realizando a quinta derivada

y^' = u^' v + u v '

Temos

u = - co s (x)/(2) e v = (1)/(8)

Para u^' , tilizaremos a regra da cadeia

u = - co s (x)/(2)

u^' = s en (x)/(2) * (1)/(2)

Para v ' , utilizaremos a regra da cadeia

v = (1)/(8)

v^' = 0

Passo 13

Agora vamos aplicar na fórmula y ' da multiplicação

y^(( 5 )) = sen (x)/(2) * (1)/(2) * (1)/(8) + (- cos (x)/(2) * 0)

y^(( 5 )) = sen (x)/(2) * (1)/(16)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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13. Ache a derivada de ordem 100 das funções:a) y = sen ⁡ x b) y = cos ⁡ x
10. y = tg ⁡ x ; n = 3
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