Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.6 - Ex. 53
Encontre uma fórmula para . Se
Passo 1
Oie lindx’s bora resolver mais uma?
O enunciado pede que encontremos uma fórmula geral para a derivada da função .
Isso significa que queremos encontrar uma expressão que nos permita calcular a derivada de para qualquer valor de .
Para resolver esse problema, começamos encontrando as primeiras derivadas em relação a .
Uma vez que encontramos algumas dessas derivadas, tentamos observar um padrão que possa nos ajudar a generalizar a derivada.
No caso da função , encontramos as primeiras derivadas e observamos um padrão emergindo: os coeficientes das derivadas parecem estar relacionados ao fatorial do número da derivada, e os termos restantes parecem estar relacionados a potências negativas de
Com base nesse padrão observado, pudemos derivar uma fórmula geral para a derivada que é .
Essa fórmula nos permite calcular a derivada de para qualquer valor de .
Passo 2
Vamos começar encontrando as primeiras derivadas:
Primeiramente, vamos calcular a primeira derivada desta função (. Então
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada da função (). Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a terceira derivada da função (). Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular a quarta derivada da função (. Então,
Passo 6
Agora que já calculamos as 4 derivadas, podemos notar certos padrões, e são eles:
- O sinal está alternando entre positivo e negativo, logo, ele pode ser escrito como
- Aparece sempre um número antes do fator e esse número pode ser calculado como
- O fator tem sempre um expoente negativo e esse expoente é , então, ele pode ser escrito como
Passo 7
Com tudo que pudemos notar, podemos escrever uma fórmula para Então,