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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.21 - Ex. 18 f

18. Calcular y ' = d y d x das sequintes funções definidas implicitamente

a) x 3 + y 3 = a 3

b) x 3 + x 2 y + y 2 = 0  

c) x + y = a

d) y 3 = x - y x + y

e) a cos 2 ⁡ ( x + y ) = b

f) tg ⁡ y = x y

g) e y = x + y

Passo 1

Quando temos uma equação com duas variáveis, e não é possível isola-las.

Passo 2

f) tg ⁡ y = x y

Vamos derivar normalmente todos os termos pela regra da cadeia a regra da cadeia y ' = d f u d x = d f d u ∙ d u d x , e derivada do produto

tg ⁡ y = x y

Passo 3

Primeiro vamos reescrever y = tg ⁡ x , como

y = sen ⁡ x cos ⁡ x

Passo 4

Analisamos como uma derivada do produto

p = u v ⟹ p ' = u ' v - u v ' v 2

Temos

u = sen ⁡ x e v = cos ⁡ x

Para u

u = sen ⁡ x

u ' = cos ⁡ x

Para v '

v = cos ⁡ x

v ' = - sen ⁡ x

Para v 2

v = cos ⁡ x

v 2 = cos 2 ⁡ x

Passo 5

Agora vamos aplicar na fórmula p '

p ' = cos ⁡ x ∙ cos ⁡ x - sen ⁡ x ∙ - sen ⁡ x   cos 2 ⁡ x  

Realizando as multiplicações

p ' = cos 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ x   cos 2 ⁡ x  

Lembrando que

cos 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ x = 1  

Temos

p ' = 1   cos 2 ⁡ x  

Lembrando também que

1 cos ⁡ x = sec ⁡ x

Temos

p ' = sec 2 ⁡ x

Passo 6

Retornando para

tg ⁡ y = x y

sec 2 ⁡ y ∙ y ' = y + x y '  

Isolamos y '

sec 2 ⁡ y ∙ y ' - x y ' = y  

Colocamos y ' em evidência

y ' ∙ sec 2 ⁡ y - x = y

Dividindo ambos os lados por sec 2 ⁡ y - x

y ' = y sec 2 ⁡ y - x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Encontre d y // d x derivando implicitamente.x y = c o t g x y
Encontre d y // d x derivando implicitamente.y s e n x^2 = x s e n y^2
Encontre d y // d x por derivação implícita.e^(x // y) = x - y
Encontre d y // d x por derivação implícita.1 + x = s e n ( x y^2 )
Considere y como variável independente e x como variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y . y sec ⁡ x = xt gy