Enunciado

r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ

(a) Encontre a excentricidade,

(b) identifique a cônica,

(c) dê uma equação da diretriz e

(d) esboce a cônica

Passo 1

Eaee, belezinha? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação de uma cônica:

r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ

Primeiramente queremos encontrar a sua excentricidade e . (Lembre-se que a excentricidade serve para nos dizer o quão "alongada" ou "achatada" é a forma da cônica.).

Para isso, vamos comparar a nossa equação com a seguinte equação geral:

r = e d 1 - e   s e n   θ

Onde d é a diretriz.

Com o valor da excentricidade, iremos identificar a cônica, onde:

  • Se e < 1 , trata-se de uma elipse;
  • Se e = 1 , trata-se de uma parábola;
  • Se e > 1 , trata-se de uma hipérbole.

Com a curva identificada, poderemos analisar e mostrar a equação da diretriz d .

Por fim, iremos plotar a nossa curva. Agora bora lá!! 😉

Passo 2

(a) Para encontrar a excentricidade, vamos comparar a equação do enunciado com a seguinte equação geral de cônicas:

r = e d 1 + e   c o s   θ             e               r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ

Pra podermos comparar termo a termo, vamos dar uma ajeitadinha na nossa equação multiplicando o numerador e o denominador por 1 / 6 :

r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ ⋅ 1 / 6 1 / 6

r = 9 6 1 + 2 6 cos ⁡ θ

Simplificando:

r = 3 2 1 + 1 3 cos ⁡ θ

Agora sim podemos comparar, veja:

r = e d 1 + e   c o s   θ             e   ��           r = 3 2 1 + 1 3 cos ⁡ θ

Comparando somente os denominadores, vemos que o termo que acompanha c o s   θ é:

e = 1 3

Essa é nossa excentricidade!!

(b) Pra identificar a cônica, analisamos a excentricidade.

Como e = 1 3 < 1   ,de acordo com o que foi mostrado no Passo 1, então a cônica é uma elipse.

Passo 3

(c) Show! Pra descobrir a reta diretriz, veja que a equação da cônica tem “ + e   c o s   θ ” , então a equação da reta é da forma:

x = + d

Beleza! Agora só falta descobrir quem é d , e isso a gente faz comparando os numeradores:

e d = 3 2

d = 3 2 e

d = 3 2 ⋅ 1 3

d = 9 2

Então, a equação da reta diretriz fica assim:

x = 9 2

Passo 4

(d) Beleza! Agora vamos fazer uma esboço da cônica, pra você ver que é uma elipse mesmo!!!

Perceba que ela parece muito com uma circunferência (mas é uma elipse mesmo haha 😉):

Perceba que a reta em tracejado é a nossa diretriz!!

Resposta

(a) e = 1 3

(b) Elipse

(c) x = 9 2

(d)

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