Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.6 - Ex. 13
(a) Encontre a excentricidade,
(b) identifique a cônica,
(c) dê uma equação da diretriz e
(d) esboce a cônica
Passo 1
Eaee, belezinha? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação de uma cônica:
Primeiramente queremos encontrar a sua excentricidade . (Lembre-se que a excentricidade serve para nos dizer o quão "alongada" ou "achatada" é a forma da cônica.).
Para isso, vamos comparar a nossa equação com a seguinte equação geral:
Onde é a diretriz.
Com o valor da excentricidade, iremos identificar a cônica, onde:
- Se , trata-se de uma elipse;
- Se , trata-se de uma parábola;
- Se , trata-se de uma hipérbole.
Com a curva identificada, poderemos analisar e mostrar a equação da diretriz .
Por fim, iremos plotar a nossa curva. Agora bora lá!! 😉
Passo 2
(a) Para encontrar a excentricidade, vamos comparar a equação do enunciado com a seguinte equação geral de cônicas:
Pra podermos comparar termo a termo, vamos dar uma ajeitadinha na nossa equação multiplicando o numerador e o denominador por :
Simplificando:
Agora sim podemos comparar, veja:
Comparando somente os denominadores, vemos que o termo que acompanha é:
Essa é nossa excentricidade!!
(b) Pra identificar a cônica, analisamos a excentricidade.
Como ,de acordo com o que foi mostrado no Passo 1, então a cônica é uma elipse.
Passo 3
(c) Show! Pra descobrir a reta diretriz, veja que a equação da cônica tem “” , então a equação da reta é da forma:
Beleza! Agora só falta descobrir quem é , e isso a gente faz comparando os numeradores:
Então, a equação da reta diretriz fica assim:
Passo 4
(d) Beleza! Agora vamos fazer uma esboço da cônica, pra você ver que é uma elipse mesmo!!!
Perceba que ela parece muito com uma circunferência (mas é uma elipse mesmo haha 😉):
Perceba que a reta em tracejado é a nossa diretriz!!
Resposta
(a)
(b) Elipse
(c)
(d)
