Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.9 - Ex. 11
Expresse a função como a soma de uma série de potências usando primeiro frações parciais. Encontre o intervalo de convergência.
Passo 1
Olá pessoal!
Vamos transformar a função em uma série de potências, mas primeiro, precisamos ajustá-la usando frações parciais. Começaremos fatorando o denominador para simplificar a decomposição em frações parciais.
Em seguida, desenvolveremos as frações parciais para encontrar uma equação explícita com as constantes e .
Vamos dar uma ajeitada na função, usando frações parciais. A gente pode come��ar fatorando o denominador:
Como os fatores são todos de primeiro grau, nossa decomposição em frações parciais ficará mais ou menos assim:
sendo e constantes.
Passo 2
Agora, vamos desenvolver o lado direito, pra achar uma equação mais explícita com e :
Como os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores:
Fazendo igualdade de polinômios termo a termo, chegamos a duas equações:
Resolvendo esse sisteminha, chegamos a e , o que nos dá:
Passo 3
Show! Agora que tal a gente reescrever a função para torná-la mais semelhante à forma padrão de uma série geométrica, que é . Ao expressar a função dessa maneira, torna-se mais simples identificar os termos da série de potências.
A forma padrão de uma série geométrica é , onde é a variável e é a razão. Nossa função original é quase como , mas com alguns ajustes nos sinais e nos termos. Vamos ajustá-la para ficar mais próxima de .
Veja que a expressão da função pode ser entendida como a soma de duas séries geométricas: uma com primeiro termo e razão , e a outra com primeiro termo e razão , ou seja:
E isso nos dá exatamente as séries de potências:
É importante notar que ao combinar os dois somatórios, podemos fazê-lo diretamente porque ambos começam com .
Passo 4
Beleza! Pra descobrir qual é o intervalo de convergência, pegamos a interseção entre os intervalos de convergência de cada série geométrica. Como a razão da primeira era e a razão da outra era , calculamos os intervalos assim:
E
Se escolhemos o intervalo como o intervalo de convergência, pois é a interseção entre os intervalos de convergência das duas séries geométricas individuais.
Se escolhemos o intervalo , estaríamos incluindo pontos onde uma das séries não converge.
Portanto, para garantir que a série de potências represente a função original de uma forma precisa, devemos usar apenas o intervalo onde ambas as séries convergem, que é .
Então, a interseção entre os intervalos é .