Se f(t) = cossec(t) , encontre f''(π/6) .

Passo 1

Olá, meu amigo. Tudo certinho com você?

Bem, essa questão da pra gente a função

f t = cossec ⁡ t

E pede para que a gente encontre f ' ' π / 6 .

E repare o seguinte, cada aspa dessa acima da função significa a quantidade de vezes que devemos derivar essa função. Neste caso específico temos duas delas acima do f , sendo f ' ' ( t ) , o que significa que devemos derivar duas vezes essa função.

Após esse procedimento iremos encontrar o valor de f ' ' π 6 substituindo t   por π 6 na derivada que encontrarmos.

Vamos nessa!

Passo 2

Vamos começar com a derivada de primeira ordem. Para isso derivamos

f t = cossec ⁡ t

As derivadas trigonométricas são tabeladas, então para nossa primeira derivada temos:

f ' t = - cossec ⁡   t ⋅ cotg ⁡ t

Maravilha!

Passo 3

Para encontrar a derivada de segunda ordem, derivamos novamente essa derivada que acabamos de encontrar.

Mas perceba que agora temos um produto entre duas funções. Nessas situações precisamos utilizar a regra do produto para realizar a derivação.

Podemos pensar em nossa função como sendo

f ' t = u ⋅ v

f ' t = - cossec ⁡   t ⋅ cotg ⁡ t

Onde

u = - cossec ⁡ t

E

v = cotg ⁡ t

A regra do produto diz:

f ' ' = u ⋅ v ' = u ' v + u v '

Ou seja, precisamos das funções que chamamos de u e v e de suas derivadas.

Derivando cada uma delas, encontramos:

u ' t = - cossec   t ⋅ cotg   t  

v ' t = - cossec 2  t

Agora vamos aplicar tudo isso na fórmula da regra do produto. Assim:

f ' ' = u ⋅ v ' = u ' v + u v '

Substituindo, temos:

f ' ' t = - cossec ⁡ t ⋅ co tg ⁡ t ⋅ cotg ⁡ t + - cossec ⁡ t ⋅ - cossec 2 ⁡ t

Realizando as multiplicações:

f ' ' t = - cossec ⁡ t ⋅ cotg 2 ⁡ t + cossec 3 ⁡ t

Passo 4

Queremos saber agora qual é o valor dessa derivada segunda quando t = π 6 :

Para isso, basta fazer a substituição na derivada que encontramos. Assim:

f ' ' π 6 = cossec 3 ⁡   π 6 + cossec ⁡   π 6 . cotg ² ⁡ π 6

Lembrando que:

c o s s e c   t = 1 s e n   ( t )

c o t g   t = cos ⁡   ( t ) s e n   ( t )

Substituindo:

f ' ' π 6 = 1 sen 3   π 6 ⁡   + 1 s e n   π 6 . cos ² ⁡   π 6 s e n ²   π 6

Sendo assim:

f ' ' π 6 = 1 1 2 3 ⁡   + 1 1 2 . 3 2 2 1 2 2 = 8 + 2 . 3 4 . 4 1 = 8 + 6

f ' ' π 6 = 14

E prontinho, temos nosso resultado.

Resposta

f ' ' π 6 = 14

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados