Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.3 - Ex. 30
Se , encontre .
Passo 1
Olá, meu amigo. Tudo certinho com você?
Bem, essa questão da pra gente a função
E pede para que a gente encontre .
E repare o seguinte, cada aspa dessa acima da função significa a quantidade de vezes que devemos derivar essa função. Neste caso específico temos duas delas acima do , sendo , o que significa que devemos derivar duas vezes essa função.
Após esse procedimento iremos encontrar o valor de substituindo por na derivada que encontrarmos.
Vamos nessa!
Passo 2
Vamos começar com a derivada de primeira ordem. Para isso derivamos
As derivadas trigonométricas são tabeladas, então para nossa primeira derivada temos:
Maravilha!
Passo 3
Para encontrar a derivada de segunda ordem, derivamos novamente essa derivada que acabamos de encontrar.
Mas perceba que agora temos um produto entre duas funções. Nessas situações precisamos utilizar a regra do produto para realizar a derivação.
Podemos pensar em nossa função como sendo
Onde
E
A regra do produto diz:
Ou seja, precisamos das funções que chamamos de e e de suas derivadas.
Derivando cada uma delas, encontramos:
Agora vamos aplicar tudo isso na fórmula da regra do produto. Assim:
Substituindo, temos:
Realizando as multiplicações:
Passo 4
Queremos saber agora qual é o valor dessa derivada segunda quando
Para isso, basta fazer a substituição na derivada que encontramos. Assim:
Lembrando que:
Substituindo:
Sendo assim:
E prontinho, temos nosso resultado.