Enunciado

Use o Método de Newton para aproximar todos os valores reais de y que satisfazem a equação dada para o valor de x indicado.

x y - cos ⁡ 1 2 x y = 0 ;     x = 2

Passo 1

Fala aí!! Tudo joia?

Olha só, a questão quer o valor da equação para x = 2 . Então a primeira coisa que a gente faz é jogar esse valor no lugar de x na expressão:

2 y - cos ⁡ 1 2 2 y = 0

2 y - cos ⁡ y = 0

Agora o nosso trabalho é achar as raízes dessa equação. Aí é que entra o Método de Newton...

Passo 2

Se liga nesse gráfico pra ver as raízes:

x = 0,5 . Show! Vamos pro método agora...

Passo 3

Para usar o método de Newton, a gente faz:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

(aqui tá em x , mas nossa função é em y , não muda nada ok?)

Vamos precisar derivar:

f ' y = 2 + s e n   y

E o nosso y 1 = 0,5 . Jogando na fórmula:

y 2 = 0,5 - 2 0,5 - cos ⁡ 0,5 2 + s e n   0,5 = 0,4506

y 3 = 0,4502

y 4 = 0,45018

Show de bola! O valor de y aproximado que satisfaz aquela equação lá é esse😉

Resposta

y = 0,45018

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Seja f x = cos ⁡ x . Calcule.a) f ' x b) f ' 0 c) f ' π 3 d) f ' - π 4
Prove D x c o s e c x =- c o s e c xc o t g x
Prove D x c o t g x =- c o s e c ² x ²
Nos exercícios de 3 a 16, ache a derivada da função dada 3 . f x = 3s e n ( x )
Nos exercícios de 3 a 16, ache a derivada da função dada. 4 . g x = s e n x + cos ⁡ x