29- Encontre todos os pontos no intervalo [-2*pi, 2*pi] nos quais o gráfico de f tem uma reta tangente horizontal.

a) f(x) = sen x

b) f(x) = x + cos(x)

c) f(x) = tg(x)

d) f(x) = sec(x)

Passo 1

Galera, para resolvermos esse exercício nós devemos achar a derivada da função e igualar ela à zero. Ok ?

Então, vamos lá!

Passo 2

a)

f ´ x = cos ⁡ x

f ´ x = 0

cos ⁡ x = 0

Agora, nós temos que pensar quais valores de x dentro do intervalo [ - 2 π ,   2 π ] , resultam em um cosseno igual a zero.

Nem precisa pensar muito, né?! Porque nós sabemos que para os ângulos em que o seno é 1, o cosseno é zero.

Dessa forma,

Para x = ± π 2 e x = ± 3 π 2 , temos cos ⁡ x = 0 .

Passo 3

b)

f ´ x = 1 - s e n   x

f ´ x = 0

s e n   x = 1

Agora, nós temos que pensar quais valores de x dentro do intervalo [ - 2 π ,   2 π ] , resultam em um seno igual a 1.

Nem precisa pensar muito, né?!

Para x = + π 2 e x = - 3 π 2 , temos s e n   x = 1 .

Passo 4

c)

f ´ x = sec 2 ⁡ x

f ´ x = 0

sec 2 ⁡ x = 0

Agora, nós temos que pensar quais valores de x dentro do intervalo [ - 2 π ,   2 π ] , resultam em uma secante igual a zero.

A gente sabe que:

sec 2 ⁡ x = 1 cos ⁡ x 2

Isso quer dizer que não existe nenhum x , tal que sec 2 ⁡ x = 0 . Portanto, não há reta horizontal.

Passo 5

d)

f ´ x = sec ⁡ x   t g   x

f ´ x = 0

t g   x = 0

Agora, nós temos que pensar quais valores de x dentro do intervalo [ - 2 π ,   2 π ] , resultam em uma tangente igual a zero.

Nem precisa pensar muito, né?! Porque nós sabemos que:

t g   x = s e n x c o s x

Logo, para x = ±   2 π ,   x = 0 ,   x = ±   π , s e n = 0 , consequentemente, t g   x = 0 .

Gente, não se esqueçam que não há nenhum x que satisfaça a equação sec ⁡ x = 0 , por isso, essa opção nem foi considerada.

Resposta

a) x     =   ±   π   /   2 , ± 3   π   /   2

b) x     =   - 3   π   /   2 , π   /   2

c)Não há reta tangente horizontal.

d) x     =   ±   2   π   , ±   π   ,   0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados