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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.2 - Ex. 51

Se r → t = a → cos ⁡ ω t + b → sin ⁡ ω t , onde a → e b → são vetores constantes, mostre que r → t × r → ' ( t ) = ω a → × b → .

Passo 1

Olá, meu nobre e querido amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade.

Nosso objetivo aqui é calcular o produto vetorial r → t × r �� ' t mas para isso precisamos saber quem é r → ' t .

Desta forma, vamos calcular a derivada de r → t , como esta é uma função vetorial precisamos calcular a derivada de cada componente, que neste caso são a ^   ; b ^ .

Derivada da componente a ^ :

d d t cos ⁡ ω t = - ω sin ⁡ ω t

Derivada da componente b ^ :

d d t sin ⁡ ω t = ω cos ⁡ ω t

Então r → ' t é:

r → ' t = - ω sin ⁡ ω t a ^ + ω cos ⁡ ω t b ^  

Passo 2

Calculando o produto vetorial:

r → t × r → ' t = a ^ cos ⁡ ω t + b ^ sin ⁡ ω t × - ω sin ⁡ ω t a ^ + ω cos ⁡ ω t b ^

r → t × r → ' t = - ω cos ⁡ ω t sin ⁡ ω t a ^ × a ^ + ω cos 2 ⁡ ω t a ^ × b ^ - ω sin 2 ⁡ ω t b ^ × a ^ + ω sin ⁡ ω t cos ⁡ ω t b ^ × b ^

O produto vetorial entre dois versores paralelos, neste caso a ^ × a ^ ou b ^ × b ^ , é igual a zero, então:

r → t × r → ' t = ω cos 2 ⁡ ω t a ^ × b ^ - ω sin 2 ⁡ ω t b ^ × a ^

Mas sabemos que - b ^ × a ^ = a ^ × b ^ , logo:

r → t × r → ' t = ω cos 2 ⁡ ω t a ^ × b ^ + ω sin 2 ⁡ ω t a ^ × b ^

r → t × r → ' t = ω   a ^ × b ^ cos 2 ⁡ ω t + ω sin 2 ⁡ ω t

Usando a relação trigonométrica cos ² ⁡ A + ω sin 2 ⁡ A = 1 , obtemos:

r → t × r → ' t = ω   a ^ × b ^

Resposta

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