Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 43
(a) Use para mostrar que, se é a -ésima soma parcial da série harmônica, então
(b) A série harmônica diverge, mas muito lentamente. Use a parte (a) para mostrar que a soma do primeiro milhão de termos é menor que e a soma dos primeiros termos é menor que .
Passo 1
Fala, pessoal! Tudo tranquilo?
Bom, vamos começar essa questão analisando a figura e tentando provar que:
Ou seja, que a soma das áreas dos retângulos é menor ou igual a área abaixo dessa curva.
A equação (4) que o enunciado pede para usarmos é:
Depois com a expressão para em m��os, podemos mostrar o que a parte b) do enunciado pede.
Vamos passo a passo, então!
Passo 2
Vamos começar pela letra a)
- Galera, olha pra seguinte figura:
- Usando o item anterior, obtemos:
Aqui podemos ver que a soma de todos os triângulos é menor ou igual que a área real abaixo da curva nesse intervalo dada por .
Substituindo , temos os termos e resolvendo a integral, temos:
Somando 1 aos dois lados da inequação, ficaremos com:
Como , ficamos com:
Passo 3
Finalizamos resolvendo nossa parte b)
- a soma do primeiro milhão de termos é menor que :
- a soma dos primeiros termos é menor que
Resposta
Itens provados nos passos 2 e 3.